具非标准增长条件的若干偏微分方程

具非标准增长条件，特别是涉及p(x)-Laplacian的微分方程近年来成为研究热点，它主要应用于电流变流体模型，热流变流体模型和图像处理模型等领域。与通常的Laplacian和p-Laplacian比较，p(x)-laplacian没有齐次性；齐次Dirichlet问题一般没有第一本征值或者为零；全空间上的积分不具有平移不变性等，由于这些新问题的出现，导致很多适用于Laplacian和p-Laplacian的方法无法推广到相应的p(x)-Laplacian的方程。本课题拟通过新的方法和思想考虑全空间上的p(x)-Laplacian方程，p(x)-Laplacian方程的变号解以及涉及p(x)-Laplacian的超线性问题。

本人基本完成了该项目原先计划的各项研究任务，并且在新的研究分支取得了初步成果，主要包含下面四个部分：.1. 全空间上的p(x)-Laplacian方程。我们研究了全空间上具有变分结构和不具有变分结构非局部p(x)-Laplacian方程解的存在性和多重性。我们的方法和条件具有一般性，因此对于相关的研究具有重要的借鉴和参考价值。研究成果已发表在Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations上。.2.p(x)-Laplacian方程的变号解。我们用序方法研究了一类p(x)-Laplacian方程的变号解，研究结果已投出去。.3.涉及p(x)-Laplacian的超线性问题。在没有经典的Ambrosetti-Rabinowitz类增长条件下，我们研究了超线性p(x)-Laplacian方程无穷多解的存在性，减弱了经典结果所要求的增长性条件，研究成果已发表在Annales Polonici Mathematici。.4.关于一类p-双调和方程。我们用Nehari流形和纤维映射研究了涉及凹凸非线性和变号权函数的一类p-双调和方程多解的存在性，研究成果已发表在Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations上。