随机微分方程保守恒量算法研究

随机微分方程源于科学与工程领域中的实际问题，其数值解研究特别是随机微分方程的保结构算法研究是当前国内外随机微分方程研究领域的热点。方程的守恒量在研究解的性质时具有中心地位，构造保守恒量的算法具有理论意义和应用价值。.本项目对Stratonovich 意义下具有守恒量的任意维随机微分方程，基于离散梯度的思想构造保守恒量的算法。算法构造的关键是将方程化为"斜梯度"形式，对"斜梯度"形式进行合适离散。理论方面预期揭示不同"斜梯度"形式的离散与所构造算法的均方收敛性、数值精度的内在联系；数值方面为解决高维情形算法的实现困难问题，引入分裂手段，先将原方程分裂为低维守恒的子系统，再对子系统构造守恒算法，最终组合子系统的数值解得到原方程的保守恒量算法；应用方面利用所构造的算法求解流体力学中能量守恒模型，给出数值模拟结果，为实际问题的求解提供新途径和科学依据。

针对随机微分方程数值分析研究领域中的若干关键问题，基于离散梯度的思想和变分原理的理论，研究内容包括：(1) 基于变分原理构造随机微分方程的高阶辛方法；(2)基于离散梯度理论研究具有守恒量的偏微分方程的守恒型数值方法的构造；(3) 针对解包含快变和慢变的微分方程，构造含自由参数ω的精确指数拟合Runge-Kutta方法。这些研究结果的进一步综合应用可为我们研究随机微分方程情形高阶守恒型数值方法提供新的思路。