总变差正则化模型的区域分解算法及其医学图像应用

In this project, we plan to study the domain decomposition methods (DDMs) for the total variation regularized models in order to process the images with large scales and high complexities by parallel computing, and extend the researches to medical image processing. The objective functionals of such kind of models are commonly non-differential and non-additive, that leads to great challenges for the algorithms designing and theoretical analyses. We will mainly investigate the most representative Rudin-Osher-Fatemi (ROF) model. Firstly, we will study the dual problem of ROF model and develop the one-level and two-level DDMs to solve the deduced convex minimization problem with the convex set constraint, that will overcome the difficulties caused by the non-differentiability and non-additivity. Meanwhile, both the related convergence and an estimate of convergence rate will be derived. Secondly, we will study the non-overlapping DDMs for the primal problem, where a saddle point problem is built upon the Lagrangian multiplier. Finally, the DDMs will be extended to restorations and segmentations for medical images.

本项目研究总变差正则化模型的区域分解算法，用于实现大规模与高复杂度的图像处理问题的并行计算，并将该算法应用于医学图像处理。总变差正则化模型的目标泛函区别于传统问题的二次泛函，具有不可微性和不可加性，为算法设计和理论分析带来巨大挑战。本项目围绕最具代表性的Rudin-Osher-Fatemi(ROF)模型开展研究。首先，研究与ROF模型等价的对偶问题，设计单水平和两水平重叠型区域分解算法，即求解凸集约束的可微凸泛函极小化问题，可以克服ROF模型目标泛函的不可微性和不可加性导致的困难；同时，研究算法的收敛性并估计算法收敛速度。其次，通过借助拉格朗日乘子建立鞍点问题来研究ROF模型原问题的非重叠型区域分解算法。最后探讨将算法应用到医学图像恢复及分割等问题。

总变差正则化模型在图像处理领域是一个基本模型，因而设计求解大规模与高复杂度问题的区域分解算法有重要的理论意义和应用价值。项目组研究了总变差正则化模型的单水平以及多水平区域分解算法，特别是针对图像分割、带偏移场的医学图像校正设计了快速有效的算法，并将研究扩展至二次反问题。 . 具体来说，首先项目组设计了图像分割模型的基于预对偶的非重叠区域分解算法，并被成功应用于肝脏CT分割，与已有的算法相比，（i）该算法对约束条件处理的方式非常灵活，可直接分解到子区域，并且易于推广到其它复杂变分模型；(ii) 通讯代价更低，只需要在相邻的一层边界进行信息传递，同时数值实验表明，区域个数以及分解方式对收敛速度的影响非常小，因而算法具有良好的可扩展性；（iii）算法在离散的设定下导出，符合实际使用设定，进一步借助现有的预对偶算法的分析理论，在较弱条件下证明了算法的强收敛性。其次，建立了基于图像分解的不均匀密度校正和脑部提取/分割建模，并设计了有效的多水平加速算法，使用新方法校正后图像的变异系数（越高越好）比目前主流偏移场矫正方法N3/N4方法提高了约30%，而且与BET/BSE/3D-PCNN脑部提取方法相比，新方法提取脑部的精度大大提升，平均对称距离（越低越好）降低到了以上三类方法的20%。最后，提出了基于分数阶指数的全息模式的总变差正则化相位恢复模型及快速算子分裂算法，大大提升了恢复的成功率以及求解速度；针对总变差正则化的广义相位恢复问题，提出了基于预处理技术的全局收敛的临近点算法；提出了基于探针梯度分解(GDP)的叠层成像偏向干分析方法，与已有研究需要多达十多个分解函数不同，新方法只需要三个基于梯度分解的函数，形式简单，求解复杂度低，而且更加稳定有效，现已被写入美国劳伦斯伯克利国家实验室为同步辐射光源成像开发的SHARP软件系统。