非局部总变差正则化图像恢复模型的快速子空间校正算法

Nonlocal Total Variation (NLTV) regularized image restoration model can be adopted to restore the degraded images, and the restored results own sharper edges and better textures. It also removes the staircase artifacts, which exists in the restored images by the traditional total variation regularized model. Therefore, the study of this model has recently become more and more popular. In this project, we will explore the subspace correction methods in order to solve the NLTV model, which mainly consists of the domain decomposition methods (DDMs) and multigrid methods. They can solve such problems with large scales and high computational complexities by parallel computing. However, the objective functional of the NLTV model is non-differentiable, non-additive and non-local, that causes the great difficulty for designing the efficient algorithm. In our preliminary studies, we propose the one level DDM for the NLTV model, where the operator splitting method is used in a clever way to overcome the special difficulty of the objective functional. Numerical examples demonstrate the convergence of the proposed algorithm, and the satisfactory speed-up efficiency. The convergence will be proved furthermore. Moreover, we shall develop and analysis the two-level DDMs and multilevel subspace correction methods with better convergence rates, which is more robust to the regularized parameter.

非局部总变差正则化模型被用于恢复退化的图像，恢复结果不仅具有锐利的边界，而且保持了较好的纹理结构，同时有效消除了传统有界总变差正则化模型带来的阶梯效应，因而成为了近年来的研究热点之一。现有的模型求解算法具有较高的算法复杂度，不能完全满足实际高精度、高维图像以及视频处理的需要。本项目将探讨采用以区域分解算法、多重网格算法为代表的子空间校正算法求解此类问题，实现并行计算，有效处理此类大规模、高复杂度的问题。此模型的目标泛函具有不可微、不可加性以及导数运算的全局相关性质，因而为算法设计带来巨大困难。在前期研究中，我们设计了单水平区域分解算法，巧妙借助算子分裂技巧，克服了上述困难。数值试验表明该算法是收敛，且具有较好的加速效率，在此基础上，将进一步分析算法的收敛性；其次，设计并分析两水平和多水平子空间校正算法，使之具有对于正则化参数更好的稳定性和更快的收敛速度。

本项目的主要研究非局部总变差正则化模型的快速子空间校正算法，并将研究拓展至基于总变差正则化的更一般的变分图像处理模型。由于非局部总变差的复杂性，我们分两步开展研究：首先针对不可微性，我们研究了总变差正则化模型，基于对偶公式并借助单位分解函数，构造了稳健快速的基于区域分解的子空间校正算法，并严格分析其收敛速度。由于目标泛函不具有强凸性以及严格凸性，函数空间分解的性质与传统的框架不同，经过分析得到了不同的收敛性态。我们在国际上首次得到了区域分解算法应用到此类问题的收敛速度为$O(1/n)$，其中$n$为迭代次数。数值实验验证了算法的有效性，表现了良好的加速性能。第二步，对于非局部模型，我们构造了快速的子空校正算法，该算法对参数以及图像精度非常稳健。更进一步，我们研究了基于总变差正则化的图像分割模型，构造了收敛的非重叠性区域分解算法。在扩展工作中，我们研究最优控制问题的区域分解算法以及带偏差图像的校正、增强以及分割建模以及快速算法设计。该项研究对区域分解算法在不可微凸泛函变分问题做了非常有意义的理论以及算法扩展研究，借助单位分解函数来分解复杂约束的方法可以为更一般的区域分解算法设计提供重要借鉴，同时对算法收敛速度的分析可为后续的更一般的总变差正则化问题提供理论基础。