变分正则化图像复原模型与算法的研究

图像复原就是对图像退化模型进行处理较为准确地恢复图像的原始信息，图像复原技术在人们的生产生活、军事公安、遥感遥测、医学成像、影视业界等众多领域都有着重要应用。由于引起图像退化的因素和性质各不相同，为了描述退化过程所建立的数学模型往往多种多样，因此图像复原是一个复杂的数学过程，本质上是数学中的反问题，也是国内外图像处理和应用数学领域的一个研究热点。本项目利用小波、变分、反问题计算等数学理论和方法研究图像复原和图像重建中各类典型问题与算法的统一数学模型及其数值算法，解的存在惟一性、稳定性以及收敛速度等，非适定性问题的正则化及其参数选择，图像修复中缺损区域的自动定位，数值模拟中停机准则的确定，图像质量评价指标等问题。建立实用的图像复原模型，并给出有效的数值算法。

图像复原是一个复杂的数学过程，本质上是数学中的反问题，已成为国内外图像处理和应用数学领域的研究热点。本项目在执行过程中，围绕总体研究目标和年度实施计划，充分吸收国内外最新研究思想，核心成员保持稳定，相互交流讨论频繁。在函数空间刻画、非线性逼近、压缩感知、变量选择、带稀疏约束的变分正则化模型、Robin参数的反演问题、有限元离散问题的收敛性、多参数正则化图像复原模型等方面取得了在理论和方法上具有一定创新意义的成果，数值实验表明所提出的模型与算法能有效地应用到图像去噪、去模糊、填充等，在精度和速度上都超过了目前在稀疏优化领域公认的算法，比经典的ROF模型有更好的视觉效果，所提出的自适应小波数值方法可推广到有关分数阶偏微分方程及相关反问题的数值计算。撰写学术论文20篇，其中已发表11篇，培养博士生4名、硕士生7名。相关成果对反问题计算、变分正则化模型与算法、图像复原等领域的研究积累了经验并已形成若干新的有待进一步研究的方向，对应用数学的学科建设及人才培养将产生有效的促进作用和积极的影响，对数学在图像科学中的应用具有一定的示范作用。