全纯函数空间上的几类算子研究

As a byproduct of Bergman space and Orlicz space, Bergman-Orlicz space has a fruitful content and complex structure. Composition operators on Bergman spaces have been investigated and formed a complete theoretic system, but the investigations on Bergman-Orlicz spaces have seldom been found. Therefore,we are dedicated to studying composition operators、weighted composition operators and the product of differentiation operators and weighted composition operators on Bergman-Orlicz spaces acting from Bergman-Orlicz spaces to Bloch spaces and Zygmund spaces. We will characterize the boundedness、the order boundedness、the compactness、the complete.continuousness and the weak compactness of these operators by using the methods and techniques in the real analyisis、the function spaces theory and the operators theory in this project.We will establish the relationships of the properties of function spaces、the properties of linear operators and the properties of domains.We hope that this project will prompt the study of the composition operators on the holomorphic function spaces.

源于Orlicz空间与Bergman空间的Bergman-Orlicz空间是一类空间结构比Bergman空间更为复杂的函数空间。Bergman空间上的复合算子已有大量研究并形成了较为完善的理论体系，然而Bergman-Orlicz空间上的研究却十分缺乏。.本项目致力于研究Bergman-Orlicz空间以及Bergman-Orlicz空间到Bloch-型空间、Zygmund空间上的复合算子、加权复合算子、微分算子与加权复合算子乘积这三类算子,主要刻画这些算子的有界性、序有界性、紧性、完全连续性、弱紧性等若干线性算子理论中的重要性质。所用的是实分析、函数空间理论与算子理论中的方法和技巧。.本项目的研究将揭示函数空间性质、线性算子性质、区域的几何性质之间的联系。希望通过本项目的实施，促进对复合算子的进一步研究和关注。

源于 Orlicz 空间与 Bergman 空间的 Bergman-Orlicz 空间是一类空间结构比 Bergman 空间更为复杂的函数空间。Bergman 空间上的算子已有大量研究并形成了较为完善的理论体系，然而 Bergman-Orlicz 空间上的研究却十分缺乏。本项目致力于研究 Bergman-Orlicz 空间与加权 Bloch 空间、加权 Zygmund 空间之间的复合算子、加权复合算子、乘积型算子等，主要刻画它们的有界性、紧性、完全连续性以及计算本性范数。针对研究内容，课题组先后得到了下列重要结果：. （1）在研究算子的有界性和紧性中，较为系统地研究了 Bergman-Orlicz 空间的性质，得到 Bergman-Orlicz 空间中函数的高阶导数与范数之间的关系，构造了Bergman-Orlicz 空间中一类特殊的测试函数。. （2）利用行列式理论，在 Bergman-Orlicz 空间、加权 Zygmund 空间、加权 Bergman 空间中建立了构造满足一定条件的测试函数的统一方法，为研究函数空间上乘积型算子提供了新的方法和技巧。 . （3）获得了由一般 Orlicz 函数定义的 Orlicz 空间中函数列范数收敛的一种新刻画，利用这一新刻画和有限原子解决了 Jabbarzadeh 在《Turk. J. Math.》中提出的“如何刻画由一般 Orlicz 函数定义的 Orlicz 空间上复合算子的紧性？”，并证明紧性与完全连续性是等价的。. （4）推广了复合算子与微分算子的乘积，定义了由复合算子、高阶微分算子、乘积算子三者乘积的乘积型算子。. （5）利用符号函数的上确界和边界极限性质系统地刻画了项目研究所涉及算子的有界性、紧性、完全连续性，并给出了一个本性范数的近似计算公式。.项目研究实施中所研究的函数空间与算子以及取得的研究成果，丰富和完善函数空间以及函数空间上的算子理论，为人们认识函数空间及函数空间上算子带来重要启示和借鉴意义。