全纯函数空间上的复合算子理论研究

本课题主要研究多复变全纯函数空间以及无穷维复分析中全纯函数空间及其上的复合算子。这是多复分析与泛函分析相结合的产物。我们的目的是利用多复分析中的方法与结论探讨函数空间与算子理论中的一些基本问题，同时研究已有结果在无穷维复分析中的推广。如今复合算子理论已受到广泛关注，并在理论物理中找到了应用。在单变量的情形，许多结果已较完备，而在多复变的情形，每年都有部分深刻的结果出现。至于在无穷维的情形，目前结果还不多。本课题将致力于研究多复变中Hardy 空间、Bergman空间与Bloch空间上的复合算子理论，特别研究强拟凸域和有界对称域上相应函数空间的复合算子的各类性质，以及无穷维复分析中各类全纯函数空间的定义和其上的复合算子的特征。这不但可以深化全纯复合算子理论的研究，同时也将更深刻地揭示多复分析中各种函数空间的结构。

本课题主要研究各类全纯函数空间上的复合算子及其它算子的各类性质。第一年度我们主要集中于研究加权Hardy、Dirichlet型空间、Orlicz空间上的复合算子，对其有界性、紧性、本性范数和谱等诸多性质进行了细致的研究，特别对加权Hardy空间上复合算子的有界性与紧性给出了判别条件。对Dirichlet型空间上的紧复合算子的谱给出了具体表达式。给出了Orlicz空间在鞅论中的若干应用。对Wogen定理进行了改进；第二年度，我们进一步研究了Dirichlet空间上的加权复合算子的性质，对其紧性给出了判别条件。我们也对Wolff定理给出了推广。第三年度，我们主要研究了一类Sobolev空间上的乘法算子的性质，利用小波技巧给出了这类乘子空间的一个刻画。我们同时研究了Orlicz空间在调和分析中的应用。