反应扩散方程中时滞引发的不稳定性和Hopf分支

This Project is to investigate the effect of nonlocal delay and cross-diffusion on reaction-diffusion equations. For reaction-diffusion equations with nonlocal delay effect, we firstly investigate the existence of Hopf bifurcation near the steady state solution by developing the method dealing with the case of local delay effect, and then investigate the direction of Hopf bifurcation and the stability of the bifurcating periodic solutions through center manifold theorem and normal form theory. For reaction-diffusion equations with delay and cross-diffusion, firstly for the case that delays are equal to zeros, we investigate the spatially inhomogeneous pattern formation induced by cross-diffusion through steady state bifurcation and Hopf bifurcation, and then we consider the effect of the delay, and investigate the spatially inhomogeneous pattern formation induced by delay. Comparing with local delay, the nonlocal delay brings more difficulites in analyzing the eigenvalue problem, and moreover there are few theoretical results on reaction-diffusion equations with delay and cross-diffusion. Hence we not only need to use existing theory, but also need to develop new methods.

本项目拟研究非局部时滞和交错扩散对于反应扩散方程的影响。研究内容包括：对具非局部时滞的反应扩散方程，首先通过发展局部时滞情形下的分析Hopf分支的方法，研究非局部时滞情形下稳态解附近的Hopf分支的存在性，然后利用中心流形定理和规范型方法研究Hopf分支的分支方向及分支周期解的稳定性等性质。对于具时滞和交错扩散的反应扩散方程，首先对于时滞为零情形，通过对稳态分支和 Hopf分支的研究，考察交错扩散导致的空间非均匀模式生成，然后研究时滞对于具交错扩散项的反应扩散方程的影响，考察时滞导致的空间非均匀模式生成。 与局部时滞相比，非局部时滞给特征值分析带来了困难，此外，对于具交错扩散和时滞的反应扩散方程，理论结果还很少。因此本项目不仅需要发展已有的理论工具，同时还需要新的方法。

本项目主要研究了几类时滞微分方程、反应扩散方程以及时滞反应扩散方程的稳定性和 Hopf 分支。主要研究内容和结果如下：(1) 时滞反应扩散方程的 Hopf 分支。我们主要研究了齐次 Dirichlet 边界条件下一般的非局部时滞反应扩散方程的 Hopf 分支。当核函数是空间平均时，我们发展了局部时滞下分析 Hopf 分支的方法，得到了非常值稳态解稳定性和时滞导致Hopf分支发生的参数区域。当核函数是时空平均时，我们发现在一定条件下，空间非齐次稳态解是稳定的，不会发生 Hopf 分支。此外，我们还研究了齐次 Dirichlet 边界条件下具多时滞的扩散的 Logistic 单种群模型，得到当时滞是“控制时滞”时，此时滞会导致 Hopf 分支产生，而当时滞不是“控制时滞”时，时滞不会影响正平衡点的稳定性。 (2) 反应扩散方程的模式生成问题。我们研究了一类由反应扩散方程刻画的捕食-被捕食模型，我们的结果包括常值平衡点的全局吸引性和非常值稳态解的不存在性，这些结果给出了模型的一些参数区域，使得在这些参数区域里复杂的时空模式不存在。(3) 时滞微分方程的 Hopf 分支。对于由时滞微分方程刻画的两类基因转录模型，我们研究了正平衡点的全局稳定性和 Hopf 分支。此外，我们还得到了周期解的大范围存在性，即全局 Hopf 分支的结果。