空间非齐次性和非局部性对于时滞反应扩散方程的影响

This project is to investigate the effects of spatial heterogeneity and non-locality on delayed reaction-diffusion equations through bifurcation theory. For delayed reaction-diffusion equations with spatial heterogeneity, we investigate the existence of Hopf bifurcation by developing the method for spatial homogeneity. Moreover, we investigate the effect of spatial heterogeneity on the direction of Hopf bifurcation and the stability of the bifurcating periodic solutions. For delayed reaction-diffusion equations with spatial non-locality, we mainly investigate several problems as follows. First, when time delay equals zero, we consider the effect of spatial non-locality on steady state bifurcation and Hopf bifurcation near the constant equilibrium. Second, when time delay is not equal to zero, we investigate whether time delay can make the constant equilibrium unstable and induce spatial heterogeneous periodic solutions through Hopf bifurcation. Moreover, for the spatial homogeneous kernel, we investigate the high-codimension bifurcation. Due to the complexity of the equations, spatial heterogeneity and non-locality bring some difficulties in computing the normal forms. Moreover, due to the lack of order preserving property of nonlocal equations, we cannot estimate the upper and lower bounds of the solutions, which are useful to investigate the global bifurcation of steady state solutions. Therefore, we need to develop the existing theory and methods through this project.

本项目拟从分支的角度研究空间非齐次性和空间非局部性对于时滞反应扩散方程的影响。对空间非齐次的时滞反应扩散方程，通过发展齐次情形下分析Hopf分支的方法，研究非齐次情形下Hopf分支的存在性以及空间非齐次性对于分支方向和分支周期解稳定性的影响。对空间非局部的时滞反应扩散方程，我们研究如下几个问题：时滞为零时，空间非局部性对常值平衡点附近的稳态解分支和Hopf分支的影响；时滞不为零时，时滞是否会通过Hopf分支导致常值平衡点失稳，进而产生空间非齐次周期解；此外，对空间齐次的核函数，研究空间非局部的时滞反应扩散方程的高余维分支。由于方程的复杂性，空间非齐次性和非局部性会给规范型计算带来难度。此外，由于非局部方程缺少“保序性”会给解的上下界估计带来难度，进而给稳态解的全局分支研究带来困难。因此本项目的研究需要发展已有的理论工具和方法。

本项目主要从分支角度研究空间非齐次性（异质性）、非局部性对于反应扩散方程以及时滞反应扩散方程的影响。除分支研究外，本项目还研究了传染病传播动力学以及生态系统种群演化中的若干问题。主要结果从如下三个方面展开。.一、在微分方程分支理论及其应用方面，(1)提出分析一类空间异质时滞对流反应扩散方程Hopf分支的方法，并发现在空间异质环境中，对流项会导致Hopf分支更容易发生；(2)发现对一类反应扩散方程组的反应项引入非局部项后，会使得空间非齐次周期解更容易产生，且在一定条件下，该周期解还是稳定的，给出了时空模式生成的一种新机制；(3)提出分析一类空间异质具时滞斑块模型Hopf分支的方法，此方法还可应用于其它具时滞斑块模型的Hopf分支研究中；(4)研究了几类具时滞反应扩散方程模型的双Hopf分支，发现了模型复杂的动力学现象。.二、在传染病的传播动力学方面，(1)对于一般的空间异质的偏微传染病模型，给出了扩散趋于无穷或者趋于零时，基本再生数的极限估计，且我们的结果是普适性的，包含之前已有的针对特殊模型的结果；(2)针对SIS斑块传染病模型，给出当未感染人群的扩散率趋于零时，地方病平衡点的极限估计，部分解决了生物数学领域的著名学者L.J.S. Allen和Y. Lou等提出的公开问题(SIAM J. Appl. Math., 2007)，此外，给出当感染人群的扩散率趋于零时，地方病平衡点的极限估计，将H. Li和R. Peng在扩散矩阵对称情形的结果(J. Math. Biol., 2019)推广到非对称情形。.三、在生态系统的种群演化方面，(1)将W.-M. Ni教授等人的结果(Commun. Pure Appl. Math., 2016)推广到了具时滞年龄结构的空间异质竞争模型，给出了弱竞争条件下模型全局动力学性质的完全分类，并从适应动力学的角度，得到成熟期短的物种会在竞争中获胜；(2)利用图论方法，证明了一类矩阵的谱界关于参数的单调性和凸性。该结果给出了Karlin定理的另一个证明，并改进了L. Altenberg的已有结论，可应用于斑块生态模型的持久性研究中。