非线性时滞反应扩散方程的稳定性和分支

在非线性科学中，由于分支和混沌、突变、分形、拟序结构等非线性现象密切相关，因此在非线性科学中分支研究占有极其重要的地位而且分支已成为非线性科学研究的主体内容之一。常微分方程和时滞常微分方程的分支研究已经取得了丰硕的研究成果，形成了较为完善的理论体系并在实际中得到了广泛的应用。对于时滞反应扩散方程而言，由于"时间反馈"和"空间扩散"的相互作用，特别是"空间扩散"的出现使得时滞反应扩散方程分支问题的研究更加棘手和困难。因此，研究时滞反应扩散方程分支问题的人相对较少，而且到目前为止只是得到了一些为数不多的零零星星的研究结果，在这一领域仍有大量的工作需要去做。基于此，本项目组拟计划借助时滞常微分方程和时滞偏微分方程的规范型理论和中心流形定理、动力系统的分支理论、算子半群理论和非线性泛函分析等现代数学工具来研究一些非线性时滞反应扩散方程的稳定性和分支，以期获得更好的结果来促进动力系统分支理论的发展。

在项目执行期间, 项目组主要以定义在具有光滑边界的有界空间区域上的时滞Lotka-Volterra反应扩散种群模型作为研究对象, 在系统中其他参数固定的情况下, 考虑了时滞参数的变化对系统动力学行为的影响. 在齐次Neumann边界条件下, 利用复变函数理论和线性算子的特征值理论研究了模型正常数稳态解的稳定性和空间齐次和非齐次周期解Hopf分支的存在性. 在齐次Dirichlet边界条件下, 首先利用隐函数定理和Lyapunov-Schmidt约化方法建立了模型非平凡稳态解的存在性并在分支点附近给出了稳态解的近似表达式. 然后利用复变函数理论和线性算子的特征值理论考虑了系统在正稳态解处线性化系统的特征值问题，建立了齐次Dirichlet边界条件下非平凡稳态解的稳定性和空间非齐次周期解Hopf分支的存在性, 从而完成了项目申请中所涉及的稳定性问题. 为了进一步分析系统在分支点附近的动力学行为, 项目组借助泛函微分方程的规范型理论和中心流形定理, 在不计算中心流形的条件下计算出了在稳定性部分得到的Hopf分支的规范型, 从而获得了判断Hopf分支方向和分支周期解稳定性的显式公式. 结合偏微分方程的数值解法、滞后型微分方程的分步方法和Matlab软件包对所得的理论结论给出了适当的时滞验证. 这些内容完成了项目申请中所涉及的主题内容. . 在项目执行期间, 项目组成员经过潜心研究, 已在国际SCI收录杂志发表学术论文14篇, 获得一项甘肃省自然科学二等奖和一项甘肃省自然科学三等奖, 一项河南省教育厅优秀科技论文一等奖, 两项甘肃省教育厅高校科技进步三等奖, 一项甘肃省教育厅高等学校青年教师成才奖, 已毕业三名硕士硕士研究生, 在读三名硕士研究生.