G-期望理论及其在金融中的应用

G-expectation plays important role in risk measure and model uncertainty, and is one of hot topics in international resarch. But the applied research about G-expectation and G-Brownian motion is still in its infancy. This project mainly investigates the limit theorem for capacity induced by sublinear expectation, and disscuss the increment properties, Levy modulus of continuity and invariant principle for G-Brownian motion. Secondly, we analysis the applications about G-expectation and G-Brownian motion in optimal investment portfolio, solve the problems of optimal investment portfolio and two-fund separation theorem with uncertainty volatility as well as option pricing problem. Finally, we prove the existence and unique solution about backward stochastic differential equation driven by G-Brownian motion when the generator satisfies some suitable conditions.This project belongs to intersection research topics between stochastic analysis and financial problems.Research results greatly enrich the G-expectations theory and improve the applications about G-expectations theory in finance.

G-期望理论在风险度量和模型不确定性等方面具有重要作用，且是目前国际上的研究热点问题之一，但G-期望和G-布朗运动在金融中的应用研究还处于起步阶段。本项目主要在G-期望理论的框架下，拟研究由次线性期望诱导出的容度下的大数定律和相关极限理论结果，探讨G-布朗运动的增量性质以及更一般形式的不变原理，考虑G-期望和G-布朗运动在金融中的应用，解决波动率不确定性下多资产的最优投资组合问题以及两基金分离定理，研究某些欧式期权和美式期权的定价问题。最后研究由G-布朗运动驱动的倒向随机微分方程在一般条件下解的存在唯一性。本项目是随机分析和金融问题的交叉性研究课题，研究成果在一定程度上极大的丰富了G-期望理论，使得G-期望理论在金融中的应用得到了提升。

本项目主要研究在G-期望理论框架下的概率极限定理以及由G-布朗运动驱动的随机微分方程相关的各类应用问题。概括总结为以下五个方面的研究成果：第一、次线性期望下独立随机变量的加权和中心极限定理；G-布朗运动增量性刻画定理；第二、在容度下关于独立同分布的随机变量加权和强大数定理；在系数满足非利普希茨条件下随机偏微分方程的路径唯一性定理，建立起了倒向重随机微分方程与随机偏微分方程之间的联系；第三、给出了G-布朗运动驱动的随机微分方程的解的求解方法以及给出了多种类型的G-随机微分方程的解的显示公式；第四、深入对某些类型的稀疏风险模型、双复合泊松风险模型进行研究，得到了期望折现罚金函数以及破产概率满足的积分微分方程、破产概率的具体表达式等结果；第五是在G-期望框架下解决了波动率不确定性下多资产的最优投资组合问题和两基金分离定理。以上这些研究成果极大的丰富了非线性期望理论的发展，为以后继续研究容度极限理论以及G-期望理论提供了理论参考。