G-倒向随机微分方程相关问题研究

In the framework of G-expectations, backward stochastic differential equation driven by Brownian motion is of great interest from researchers. Its existence and uniqueness and related applications are worthy of further exploration and research. The main aim of this project is to discuss the following contents: Firstly, we will investigate the existence and uniqueness of G-backward stochastic differential equations which its generator meets different conditions, the existence and uniqueness of the second order G-backward stochastic differential equations and G-forward and backward stochastic differential equations. Secondly, we will investigate a new strong Law of Large Numbers and other results about capacity limit theory. Finally, we will study the applications on G-backward stochastic differential equations, G-forward and backward stochastic differential equations and second order G-backward stochastic differential equations in the fields of option pricing, portfolio, stochastic optimal control problem etc.. These research results will bring great significance to understand the importance of G-backward stochastic differential equations.

在G-期望框架下，由G-布朗运动驱动的倒向随机微分方程目前受到国内外研究者的极大关注，有关G-布朗运动驱动的倒向随机微分方程的解的存在唯一性及其应用方面的结果值得进一步的探索研究。本项目主要研究以下内容：第一、研究G-布朗运动驱动的倒向随机微分方程在生成元满足不同条件下解的存在唯一性问题、二阶G-倒向随机微分方程解的存在唯一性、以及G-布朗运动驱动的正倒向随机微分方程解的存在唯一性问题；第二、研究在容度意义下一种全新的强大数定律、容度极限理论方面的结果；第三、研究G-倒向随机微分方程，G-正倒向随机微分方程，二阶G-倒向随机微分方程在期权定价、投资组合、随机最优控制等领域中的应用。以上这些研究内容对丰富G-倒向随机微分方程理论具有重要的意义。

本项目在G-期望理论框架下，研究了由G-布朗运动驱动的随机微分方程的解的存在唯一性及其应用等方面的相关问题，主要获得了以下几方面的研究结果：. 首先，提出了由G-布朗运动驱动的随机Lotka–Volterra模型，这个模型同时考虑到了随机扰动项具有方差不确定性和均值的不确定性，以及增长率具有随机性和有界性的特点，证明了这个模型在容度意义下存在唯一的正解；并给出了解的一些渐近矩估计结果。在G-Lotka–Volterra模型的基础上，进一步研究了一个含有时滞的随机Lotka–Volterra模型，并证明了该模型的解在容度意义下存在唯一的正解；分析了这个解的渐近性质。. 其次、获得了针对G-布朗运动的Strassen定理及Levy连续模定理的统一形式，并研究了一个含有G-布朗运动的随机传染病模型，这个模型可以看作是对目前存在模型的一种推广，证明了该模型的解的存在唯一性以及具有p-阶矩平稳性和拟必然指数平稳性等性质。同时也研究了由G-布朗运动驱动的SIRS模型并证明了这个新模型在容度意义下存在唯一的正解。. 然后、提出了一类倒向随机微分方程，证明了这个类型的倒向随机微分方程解的存在唯一性；同时给出了一个重要的估计式，并获得了关于这类型的倒向随机微分方程的比较定理。. 最后、深入研究了高维协方差矩阵的规则化问题。对高维协方差矩阵采用ARMA结构的协方差矩阵进行规范化估计，并通过模拟分析和真实数据验证所获得的理论结果的有效性；研究了用其它规则的协方差结构对高维协方差进行估计的问题。同时对一些云南特色股票进行了实证分析研究，获得了效果较佳的预测分析以及最优投资组合方案。. 以上研究结果极大拓宽了G-布朗运动及G-随机微分方程的应用领域，对进一步研究非线性数学期望理论的应用具有重要意义。