分数维g-期望及其在金融中的应用

作为数理金融学和经济学领域具有重要研究价值的几种风险度量工具之一，g-期望及其相关问题的研究一直是当今随机分析以及金融数学研究的热点问题。而分数维布朗运动也是随机分析研究的一个重要分支。本项目旨在将g-期望理论研究同分数维布朗运动相结合，应用随机分析的基本工具，深入研究分数g-期望的性质及其在金融中的应用问题。自彭实戈院士和胡耀忠教授合作首次给出分数g-期望的定义之后，这方面的问题尚未得到进一步展开。申请人在研究生期间一直从事倒向随机微分方程及其非线性期望方面的研究工作，并取得了一些较好的成果。工作后开始学习、研究分数维布朗运动，并开始得到一些结果。项目预期得到一两个有实际应用背景的国际前沿理论成果并将其应用于解释、验证金融现象。

申请人在项目研究期间，在已有关于Choquet期望控制下的g-期望同其生成元之间的等价关系结论的基础上。进一步讨论了g-估价的框架下，证明了g-估价如果被Choquet-估价所控制，等价于生成元g关于变量y具有线性性，而关于变量z是正其次和次可加的。此结果已被Acta Mathematica Sinica杂志接受录用，将于近期发表。.申请人另外研究的一个问题是，考虑由分数维布朗运动驱动的反射倒向随机微分方程的解的存在唯一性问题。已有的由分数维布朗运动所驱动的倒向随机微分方程解的存在唯一性问题，首次是由Peng, S.G.同Hu, Y.Z.给出的，该文章讨论了由分数维布朗运动所导出并定义的拟期望，不具有单调性质；从PDE的方法如手讨论了一类在一类多项式增长的函数空间中解的存在唯一性问题，另外对于线性的倒向方程，使用Girsanov变换的方法得到一类方程的解。申请人考虑了由分数维布朗运动所驱动的反射倒向随机微分方程的问题。这里碰到的关键问题是由于分数布朗运动不具有独立增量的性质，而是具有长相依性，所以分数维布朗运动所定义的停时不具有经典停时的性质和结果，比如该问题中会用到的Snell包络的问题。由此申请人的问题转换成了，如何将经典的Snell包络问题推广到分数维布朗运动所定义的停时情形。此问题是随机分析方面的基本结论，申请人对此问题尚在钻研阶段，还没给出结论。因此由分数维布朗运动驱动的倒向随机微分方程解的存在唯一性问题的研究还需要进一步的考虑。