G-期望及其在金融中的应用

本项目将对G-期望框架下的随机分析理论（包括鞅表示定理，有限变差鞅的性质等）以及其在金融中的应用进行研究。非线性期望是最近十几年来发展起来的概率论的一个重要分枝，是经典的线性期望的推广。G-期望是一类典型的非线性期望，G-期望空间是概率空间的推广。彭实戈院士等的一系列文章在G-期望空间上建立了相应的G-正态分布，G-布朗运动，G-鞅以及关于G-布朗运动的随机积分等概念。并已经得到了像中心极限定理，大数定律，伊藤公式，鞅分解定理等重要结果，把经典的随机分析非平凡的推广到了非线性的情形，使得这些概念具有更加丰富的内容。G-期望理论有很多重要的应用。比如在金融中，可以用来研究连续时间下动态相容的风险度量。G-期望理论是概率论中一个方兴未艾的方向。目前，国际上已经有越来越多的优秀的概率统计学家开始专注于这一领域。不管是在理论研究还是在实际应用方面，这一领域都有非常好的发展前景。

该项目的研究对象是G-期望框架下的随机分析理论，包括G-鞅的结构与性质，G-布朗运动驱动的倒向随机微分方程的适定性等等. G-期望是一类典型的非线性期望，是经典的线性期望的推广，是最近十几年来发展起来的概率论的一个重要分支. 在G-期望下，随机过程具有更加复杂的结构，比如随机积分只是一类特殊的鞅，有限变差G-鞅不再是一类平凡的过程. 因此，G-期望下的随机分析理论具有更加丰富的内容，这些问题的研究是G-期望理论发展的基础，我们需要全新的方法和思路.. 该项目已完成的工作包括：（1）关于非线性期望下鞅的结构，在前人工作的基础上完全证明了G-鞅分解定理；证明了G-鞅表示的唯一性；与合作者给出了G-鞅的完全表示. (2) 证明了非线性期望下平稳独立增量过程的分解定理，给出了G-布朗运动的鞅刻画. (3) 与合作者证明了G-布朗运动驱动的倒向随机微分方程的适定性，并对一类完全非线性的偏微分方程给出概率解释.