紧致辛和多辛格式

We discuss high order compact (HOC) multisymplectic scheme (HOC-MS) for Hamiltonian system, incluing HOC-MS in classical sense and HOC-MS with spit-step idea. Firstly, we will investigate multisymplectic integrators and HOC scheme for general PDEs and discover their commons. Then the two ideas shade into each other. Secondly, exploring HOC-MS in classical sense. It is required that the accuracy will be improved while the computational cost would not increased greatly, that is, the bandwidth of the coefficient matrix is almost the same with the classical finite difference schemes. Thirdly, we combine the split-step method with the new proposed HOC-MS and study split-step HOC-MS. In the part, we will consider the construct strategy,analyze the conservation laws and estimate the errors. Moreover, the appliction of the new method to electromagnetics and quantum mechanics will be investigated. We will compare the advantages and disadvantages of the new method with the exisisting multisymplectic methods.

本项目研究哈密尔顿系统的高阶紧致多辛格式，包括传统意义下的高阶紧致多辛格式和引入分裂步思想的高阶紧致多辛格式。首先，我们对哈密尔顿系统的多辛算法和一般偏微分方程的紧致格式进行深入的研究以寻求把它们融合起来的切入点。其次，研究传统意义下的高阶紧致格式。要求这种格式中不增加太多计算量的前提条件下，也就是所得到的代数方程组的带宽不增加的情况下提高多辛格式的精度。同时研究其中哈密尔顿系统中的应用，并且把它与传统多辛格式进行比较。再则，把分裂步方法的思想与我们已有的高阶紧致多辛格式相结合，研究分裂紧致多辛格式。考虑分裂紧致多辛格式的构造方法，分析格式的守恒性和误差等，研究格式的中电磁学，量子力学中的应用。研究比较它与已有多辛格式的优劣。

哈密尔顿系统的辛和多辛格式在保持系统内在的几何性质方面具有独到的优势，能够长时间地数值模拟计算，在科学计算中颇受青睐. 构造哈密尔顿系统辛和多辛格式的常用方法有（块）Runge-Kutta方法，Runge-Kutta与谱方法相结合、Runge-Kutta方法与有限元方法、有限体积法相结合。然而，这些方法均存在一些不足之处，要么计算精度低、要么效率低。为了克服这些方法的不足之处, 在本项目中，我们研究了Runge-Kutta方法与高阶紧致格式的结合，研究了哈密尔顿系统的高阶紧致辛和多辛数值方法，主要探讨了数值方法的构造方法，对方法进行了理论分析，用这些格式模拟了一些数学物理模型，例如：具有波动算子的Schrodinger方程、长短波方程、杆振动方程。理论分析和数值计算结果表明用我们的新方法构造出来是辛与多辛算法克服了一般方法精度较低，谱方法等方法计算缓慢等不足。具有辛和多辛格式的数值特征，大大提高了计算效率。