发展型奇异摄动问题局部间断Galerkin方法的局部误差研究

The time-dependent singularly perturbed problems arise widely in engineering and applied mathematical fields, which attracts many numerical methods to solve them. Local discontinuous Galerkin (LDG) method is one of the hot numerical methods which can simulate these problems very well. Even the exact solution has a transient layer with a huge gradient, the LDG methods still give the satisfactory numerical solutions. To show the numerical advantage of this method, we will study the local error estimate in this proposal. For the time-dependent singularly perturbed convection diffusion problems with boundary layer or interior layer, we would like to establish the double-optimal local error estimate for the fully-discrete LDG method. By double-optimal we mean the width of the numerical layer is quasi-optimal, and the convergence rate of the local error out of the boundary layer is optimal. There are three aspects of this proposal. Firstly, we will choose the weight function to set up the local L2-norm error estimate for the fully-discrete LDG method; Secondly, we will use the discrete Green function to establish the local pointwise error estimate for the fully-discrete LDG method; Thirdly, we will apply the global projection for the local L2-norm error estimate of the fully-discrete LDG method with the generalized alternating numerical fluxes. The project has an important theoretical value and will promote the application and the development of the LDG methods.

发展型奇异摄动问题广泛出现于工程与应用数学领域中，相应的数值方法研究一直备受关注。局部间断Galerkin（LDG）方法是目前热门的数值方法之一，可以很好地模拟奇异摄动问题。即使问题具有大梯度变化的瞬变层，LDG方法依旧具有良好的局部误差表现。为充分展现这一数值优势，本项目致力于LDG方法的局部误差研究。针对具有边界层或内层的发展型奇异摄动对流问题，建立全离散LDG方法的双最优局部误差估计，即数值污染区域的宽度是拟最优的，污染区域外的误差收敛阶是最优的。具体的研究内容包括：选取权函数，建立全离散LDG方法的局部L2模误差估计；利用离散Green函数，建立全离散LDG方法的局部逐点误差估计；构造整体投影，建立基于广义交替数值通量LDG方法的局部L2模误差估计。本项目具有重要的理论价值，将促进LDG方法的应用和发展。

奇异摄动问题出现于众多的工程技术与科学计算的实际应用领域之中，如流体力学、弹性力学、化学反应、最优控制等。通常该类问题的精确解在一个很小的区域内出现急速的变化，形成边界层或内层。基于拟一致网格上的标准有限元或有限差分方法，数值解会出现全局振荡，不能模拟真实的情形。许多高效的数值算法被相继提出。局部间断Galerkin有限元方法是其中一种代表，具有局部守恒、网格设计灵活、自适应等优势，在模拟奇异摄动问题时具有良好的稳定性和局部误差表现。本项目研究了发展型奇异摄动问题的全离散局部间断Galerkin有限元方法及其误差估计。 . 研究内容有：（1）针对发展型奇异摄动半线性反应扩散问题，探讨了三阶显式龙格库塔时间离散下全离散LDG方法的双最优局部误差估计，即数值污染区域被限制于一个拟最优的区域，而在该区域外数值精度达到最优阶。（2）针对奇异摄动对流扩散问题，研究了拟一致网格上LDG方法的逐点误差，证明了双最优的局部最大模误差估计，并得出整体最大模估计以及一阶L1模误差估计。（3）考虑了层适应网格上LDG方法的一致收敛性。分别针对一维两参数奇异摄动问题、二维对流扩散问题、二维反应扩散问题，建立了与小参数无关的一致最优或拟最优的误差估计。（4）探讨了数值通量在局部误差或整体误差估计中的影响，研究对象从完全交替通量到广义交替通量再到多参数一般通量，从拟一致网格到层适应网格，从半离散到全离散等。通过深入研究整体投影的逼近或者超逼近性质，建立了相应方法的最优阶误差估计。 . 以上理论成果均得到了数值实验的有力验证，证实了局部间断Galerkin有限元方法在模拟奇异摄动问题时的独特优势，为该方法应用于非光滑解情形以及发展自适应提供了良好前景。项目的实施和完成具有重要的理论意义和实际应用价值。