辐射扩散方程的高精度局部间断Galerkin方法研究

The calculation of three-temperature radiation diffusion equations is a key problem in numerical simulation of inertial confinement fusion, and has important applications in weapon physics, astrophysics and other fields. Due to the strong nonlinearity and weak discontinuous solution of the problem, the traditional numerical methods need to satisfy the strict restriction of the time-space mesh ratio, and the computation is complex, the stability is poor, and the convergence accuracy is low at the discontinuous interface. This project aims at its simplified model. By constructing the weighted numerical fluxes characterized by discontinuity coefficients and combining the idea of hybrid elements with local discontinuous Galerkin methods, it is expected to establish a space approximation scheme with less overall degrees of freedom and element conservation. Coupled with implicit integration factor methods to discrete time, it not only relaxes time step, but also can be calculated element by element, which improves the efficiency of calculation greatly; Meanwhile, applying the multigrid method to solve the fully implicit local discontinuous Galerkin form, we design an efficient algorithm whose amount of calculation only depends on the number of unknowns linearly. We compare the computational efficiency of these two methods and simulate the three-temperature radiation diffusion model numerically. By adding penalty terms to the interface edges, we overcome the low regularity of solutions and obtain the optimal convergence analysis. The completion of this project will provide theoretical support and practical basis for revealing the physical mechanism of the inertial confinement fusion problem and the effective numerical simulation of it.

三温辐射扩散方程组的计算是惯性约束聚变数值模拟的关键问题，在武器物理、天体物理等领域具有重要应用。由于该问题的强非线性和解的弱间断影响，传统的数值方法需满足苛刻的时-空网格比限制，在间断界面处计算复杂、稳定性差、收敛精度低。本项目旨在对其简化模型，构造由间断系数表征的加权数值通量，并结合杂交元思想与局部间断Galerkin方法，以期建立整体自由度少、单元守恒的空间逼近格式；然后，耦合隐式积分因子方法进行时间离散，不仅放宽时间步长，而且可分单元进行计算，极大提高计算效率；同时，利用多重网格方法求解全隐局部间断Galerkin形式，设计出计算量仅线性依赖于未知量个数的高效算法，并比较两种方法的计算效率，且对三温辐射扩散模型进行模拟；通过在界面边上添加惩罚项，克服解的低正则性问题，得到最优收敛性分析。本项目的完成，将对揭示惯性约束聚变问题的物理机理和对其进行有效的数值模拟提供理论支撑与实践依据。

辐射流体力学数值模拟在惯性约束聚变、天体物理等诸多领域都有重要的应用，是这些应用领域主要的研究手段之一。三温辐射扩散方程组是辐射流体力学问题的重要组成部分，它近似描述了惯性约束聚变中，辐射能量在静止介质中的非线性传播过程，体现了原始问题的主要特征和求解的难度。. 本项目从简化模型单温辐射扩散方程（具有间断系数的非线性抛物方程）入手，构造由间断系数表征的数值通量，建立出单元守恒的局部间断Galerkin空间逼近格式，并耦合基于Krylov子空间的半隐式积分因子方法进行时间离散，以此放宽了苛刻的时-空网格比限制，从而极大提高了计算效率。我们也从理论和数值两方面验证了该方法的有效性和最优收敛性。然后，我们将该方法应用到非平衡辐射扩散方程组（两温方程组）的数值模拟中，结果显示了其高效性和最优收敛精度，且该方法不仅易于处理间断系数，还在得到数值解的同时，得到了流通量的数值逼近。进一步，结合杂交元思想，减少了该方法整体耦合的自由度数目，且根据间断Galerkin方法易于构造高阶格式的特点，我们给出了二次元逼近的空间三阶离散格式，并利用面积坐标进行数值模拟，验证了方法的收敛性和高效性。与此同时，鉴于原始问题的多介质性，用来描述非均匀介质中的辐射能量传播过程，分数阶方程也会有优势。于是，我们考虑了具有间断扩散系数的分数阶扩散方程，采用局部间断Galerkin方法进行空间离散，借助Graded网格上的L1格式用于时间离散，以此易于处理间断系数和解的弱奇异性，得到其稳定性和最优收敛性的理论分析，并进行了数值验证。. 该项目为辐射流体力学问题的数值模拟探索了可行的方法，从而为科学与工程实践提供一定的指导依据。受本项目资助，公开发表SCI论文13篇，培养研究生4名。