半隐半显式全离散局部间断Galerkin方法的研究

The local discontinuous Galerkin (LDG) method is one of the most widely adopted method for solving convection-diffusion problems. The study for the corresponding time discretization methods is of important theoretical value and application prospects. In this proposal, we will deeply carry out a series of theoretical analysis for the implicit-explicit (IMEX) fully discrete LDG schemes, mainly based on convection-diffusion problems, and also we will study the applications of the method. There are mainly three aspects of this proposal. Firstly, we will devise efficient time discretization algorithm for nonlinear diffusion problems. Secondly, we will study the proper choice of numerical flux and the setting of boundary condition at each intermediate time stage of Runge-Kutta IMEX scheme. Thirdly, we will investigate the numerical performance of the IMEX-LDG methods for solving incompressible Navier-Stokes equation, and so on. The research will provide certain theoretical support for the time discretization algorithms.

局部间断 Galerkin（LDG）方法是目前广泛应用于对流扩散问题的数值方法之一，相应的时间离散技术研究具有重要的理论价值和应用前景。本项目计划以对流扩散问题为主要研究对象，深入开展半隐半显式（IMEX）全离散 LDG 方法的理论研究和实际应用工作。具体研究内容包括：构造适用于非线性扩散问题的高效稳健时间离散方法；探讨 Runge-Kutta 型 IMEX-LDG 格式中，边界数值流通量和中间时间层的边界条件设置；将 IMEX-LDG 方法应用于不可压缩 Navier-Stokes 方程等。本项目研究工作将为 LDG 方法的时间离散技术提供相应的理论保障。

局部间断Galerkin（LDG）方法是目前广泛应用于对流扩散问题的数值方法之一，近年来该方法也被成功用于求解更高阶发展型偏微分方程，而这些问题的数值求解在时间离散方面面临着极大的挑战。半隐半显式（IMEX）时间离散方法既能克服纯显式时间离散方法苛刻的时间步长限制，又能避免纯隐式时间离散方法计算量大的问题。本项目以对流扩散问题为主要研究对象，深入开展IMEX全离散LDG方法的理论研究和实际应用工作。.主要研究内容如下：给出了IMEX-LDG方法求解发展型四阶方程的无条件能量模稳定性和最优误差估计；将IMEX-LDG格式应用在不可压N-S方程和混溶驱动问题中，并给出了相关格式的稳定性和误差估计；对于Dirichlet边界对流扩散问题，探讨了三阶Runge-Kutta型IMEX-LDG格式的边界数值流通量设置和中间时间层的边界设置问题，以保证格式的精度不损失；针对非线性扩散问题，设计了一种简单高效稳定的时间离散方法；分析了一般交错型数值流通量的LDG方法配合IMEX时间离散求解一维对流扩散问题的无条件L2模稳定性和最优误差估计；也分析了一般交错型数值流通量的LDG方法在二维发展型奇异摄动对流扩散问题的局部最优误差计；系统给出了RKDG格式L2模稳定性的分析路线和理论结果。.本项目的研究彰显了IMEX-LDG方法的理论价值和光明的应用前景。不仅极大丰富了LDG方法的理论成果，而且具有很好的实践指导价值，为时间离散技术的研究提供理论上的保障。.