分数阶Klein-Kramers方程的高阶局部间断Galerkin方法

In phase space, under the effect of heating bath and the external nolinear potential, the anomalous transport process of Brown particle is described by the fractional Klein Kramers equation. To discuss the anomalous diffusion behavior of this equation, it is necessary to establish stable and high accurate numerical schemes. This project aims at the numerical solutions of fractional Klein-Kramers equation. Based on the properties of fractional calculus and partial differential equation, the theoretical framework for the variational formulation of fractional Klein Kramers equation will be established by translate it into lower system; the high order local discontinuous Galerkin methods for this equation will be designed by choosing the appropriate test functions and the numerical fulx. The detailed error estimates will be estiablished with the help of the theories of functional analysis and numerical approximation. Numerical results will be presented to show the validity of our theoretical analysis and the actual physical models will be simulated. The research results of this project will further enrich the theory of numerical methods for fractional differential equations. And it also will promote in-depth investigation of the anomalous behaviors of diffusion particles described by the Klein Kramers fractional diffusion equations.

分数阶Klein-Kramers方程描述了相空间中的布朗微粒在热浴和非线性外力场作用下的反常输运过程。为了更好地讨论该方程的反常扩散动力学行为，建立适合于该方程的稳定、高精度数值格式是很有必要的。本项目围绕分数阶Klein-Kramers方程的数值解展开，基于分数阶微积分的性质，将原方程偶合成低阶线性系统，拟建立相应的变分形式的理论框架，选取适当的基函数和数值流通量，设计该方程的高精度局部间断Galerkin有限元方法；结合泛函分析、函数逼近等工具分析数值格式的稳定性和收敛性并给出先验误差估计；通过数值试验验证理论结果并模拟实际物理模型。本项目的开展将进一步丰富分数阶微分方程的数值理论，有助于我们深入研究分数阶Klein-Kramers方程描述的扩散微粒的反常动力学行为。

本项目围绕含零势函数和常势函数的空间分数阶Fokker-Flanck方程（即空间分数阶对流-扩散方程)、分数阶Klein-Kramers方程的数值解展开。构造了空间分数阶扩散方程的二阶加权差分格式，利用Fourier分析的方法建立了格式的误差估计，并利用所设计的算法模拟了系统的反常扩散行为。基于分数阶导数Fourier空间中的性质，构造了空间分数阶对流-扩散方程的一类新的加权位移Grünwald Letnikov二阶差分格式，利用von Neumann 分析的方法建立了格式的稳定性。基于加权位移的Grünwald-Letnikov逼近，设计了缓和(tempered) 空间分数阶扩散方程的高阶差分格式，通过分析迭代矩阵的特征值建立了所给数值格式的稳定性和收敛性，并利用数值算例验证了所设计的算法的有效性。本项目按照研究计划顺利进行并完成，研究结果均以学术论文的形式呈现，公开发表SCI论文2篇，协助培养研究生1名。