稀疏优化在几何建模中的应用

With the advent of 3D input devices (scanners) and output devices (printers), geometric modeling and processing have come to a new stage. How to efficiently constructing and processing 3D geometric objects becomes an important area of research. Recently sparse optimization technique has become a powerful tool for signal processing, and has been widely used in image processing, computer vision, machine learning, compressed sensing and statistical analysis. However, the application of sparse optimization technique in geometric modeling and processing is just in infant stage, since geometric objects are two dimensional manifolds and the domains are irregular compared with images, and the meaning of sparse coding is unclear. Thus extending the sparse optimization technique from images to 3D objects is a challenging problem. In this project, we will explore the applications of sparse optimization in geometric modeling and processing, including some basic theoretic problems such as sparse coding of geometric models and dictionary construction, and applications in surface reconstruction, surface inpainting, surface editing and modification, implicitzation, mesh parameterization and knot calculation in spline surface fitting, etc. The ultimate goal is to develop efficient tools for geometric modeling and processing.

随着三维采集设备（扫描仪）及输出设备（三维打印）的发展，几何建模与处理技术发展到了一个新的阶段。如何快速、高效地构建几何模型及分析理解几何模型成为几何建模重要的发展方向。近年来，稀疏优化技术成为信息处理领域一个有力的工具，在诸如图像处理，计算机视觉，机器学习，压缩感知，统计分析中得到广泛的应用，取得巨大成功。然而，稀疏优化技术在几何建模与处理中的应用研究还比较零散，究其原因在于几何模型是一个二维流形，其定义区域不规则，稀疏表达的意义不明确，因此如何将稀疏优化技术应用到几何建模与处理领域成为一个富有挑战性的问题。本课题拟探索稀疏优化技术的基本问题及其在几何中的应用，包括几何模型的稀疏表达、字典构造等基本问题，以及稀疏优化问题在曲面重构、曲面补洞、曲面变形、曲面隐式化、网格曲面参数化、样条节点的优化选取等中的应用，为发展高效的几何建模与处理工具做出积极的贡献。

随着三维采集设备（扫描仪）及输出设备（三维打印）的发展，几何建模与处理技术发展到了一个新的阶段。如何快速、高效地构建几何模型及分析理解几何模型成为几何建模重要的发展方向。近年来，稀疏优化技术成为信息处理领域一个有力的工具，在诸如图像处理、计算机视觉、机器学习、压缩感知、统计分析中得到广泛的应用，取得巨大成功。然而，稀疏优化技术在几何建模与处理中的应用研究还比较零散，究其原因在于几何模型是一个二维流形，其定义区域不规则，稀疏表达的意义不明确，因此如何将稀疏优化技术应用到几何建模与处理领域成为一个富有挑战性的问题。本项目聚焦于稀疏优化技术在几何中的应用，具体研究内容包括：基于隐式表示的几何模型的稀疏表示与低秩表示及其在曲面重建中的应用；平面区域与体区域的样条参数化表示；带尖锐特征的样条与流型曲面的构造；网格模型的分割；几何模型中轴的计算；有理曲面的紧致隐式化等。经过四年的努力，本课题在上述领域取得系统的研究成果，共完成学术论文20篇，其中SCI论文18篇，主要成果发表在ACM Transactions on Graphics、IEEE Transactions on Visualization and Computer Graphics、Computer Aided Geometric Design、Computer Aided Design、Journal of Scientific Computing等重要国际学术期刊。这些成果在几何模型的构建、等几何分析的基础理论以及在计算机辅助几何设计与计算机辅助工程中都有重要理论意义与应用前景。