关于动力系统复杂性问题的研究

In this project, we mainly concern the complexity theory of dynamical systems and the chaos in measure-preserving systems. More precisely ,we will study the following three aspects: .1.In the aspect of the complexity of the topological systems, we will study the existence of invariant multi-Li-Yorke chaotic sets，distributionally chaotic sets， and explore the complexity of the systems by the way of mean metric..2. In the aspect of multi-transitive systems, we will research the time sets of orbits by Furstenberg families. We are aim to find new descriptions of the complexity of those systems, such as chaos along some special subsequences..3. In the aspect of the complexity of the measurable systems, we will focus on the different kinds of chaos and sensitivity in the measure-preserving systems and its relations to other complexity properties..These studies will enable us to have an intensive understanding of the complexity theory of the dynamical systems and rich present results.

本项目将主要关注动力系统中的复杂性理论和保测系统中的混沌问题。具体来说，本项目关注以下三个方面的问题：.1、在拓扑动力系统的复杂性方面，我们不仅考察不变的多元Li-Yorke混沌集、分布混沌集的存在性，还会借助轨道度量平均的形式揭示迭代系统中的动力复杂性。.2、在多重传递系统方面，我们将利用Furstenberg族刻画多重传递系统中轨道时间集，尝试发现这一类系统中蕴含的复杂性的新的描述形式，例如它所蕴含的相对于某些特定时间序列的混沌。.3、在测度系统的复杂性方面，我们将研究测度系统中相关的混沌、敏感等问题，并研究它们与保测系统中的其他动力复杂性的关系。.项目的这些研究将对动力系统复杂性理论相关问题有更深入的理解，丰富已有的研究成果。

在拓扑动力系统中，我们考察了某些动力系统，研究了其蕴含着(不变)的混沌集；指出了对角线传递蕴含着按序列对角线分布混沌；引入了Bowen估计熵，并给出了变分原理；在（半）群作用的系统中，我们研究了正上密度回复点和Pesin-Pitskel拓扑压及测度理论压。这些结论推广了已有的成果，并引入的新的证明思路，分别发表在《Ergodic Theory and Dynamical Systems》、《 Journal of Differential Equations》, 《中国科学》等杂志。.在控制系统和随机系统中，我们将紧致动力系统中的概念和方法尝试应用其中。在控制系统中，我们将拓扑动力系统中的等度不变性等引入到了控制系统中，讨论了这些不变性之间的关系，并给出了控制集的分类定理。在随机系统中过，我们引入了分布混沌的概念，研究了具有正熵的一类随机系统，指出其中蕴含着第二种分布混沌。这些研究方法和结论为研究更一般的系统的复杂性开辟了思路，具有一定的推动作用，相关结论发表在《 Journal of Differential Equations》, 《Science China mathematics》和《Journal of Dynamics and Differential Equations》等杂志。