关于稀疏性问题的多目标优化算法的研究

本项目研究在多目标算法框架下解决稀疏问题的可行性与有效算法。稀疏问题是研究如何从众多要素中提取核心要素的科学问题。正则化方法是解决稀疏问题的最常用方法，通常导致非凸、非光滑、非Lipschitz连续、以及多极值的优化问题。现有的正则化方法主要缺陷在于：(1)这些方法都是基于单目标搜索算法，一次仅能找到单个局部最优解；(2)其性能依赖于正则化参数的设定以及对最优解的稀疏度约束。针对这些问题，我们将从多目标优化角度发展求解稀疏问题的全局优化算法。具体地，我们将在多目标演化算法的框架下研究多目标匹配追踪算法、多目标迭代阈值算法、多目标二次规划方法和基于偏好的多目标算法，以及相关的收敛性理论。这些算法都具有单次找一组全局最优解且易于并行实现的优点。本项目所获结果将为稀疏问题的求解提供一套全新的(基于多目标优化框架的)研究途径，并为稀疏正则化问题（特别是压缩感知问题）提供了一套高效、快速的实用算法。

稀疏重构算法设计是压缩感知研究中的核心问题之一。当前的主流方法大多都是基于正则化算法框架，采用单目标的优化方法和理论来设计算法。稀疏优化问题本质上也是一个约束优化问题，利用多目标框架处理这类问题具有先天的优势，避免了正则化参数设置的难题。本课题主要研究了多目标框架下的稀疏重构算法，具体研究内容包括：（1）基于阈值迭代的多目标重构算法; (2) 基于偏好机制的多目标重构算法；(3) 基于二次建模的随机优化方法；(4) 多目标算法的分解与合作策略研究。通过本项目的研究，我们发现现有的阈值迭代算法在低观测和长信号上重构表现很不理想，利用多目标重构算法则可以很好解决这些问题。具体来讲，我们在基于分解算法框架下，设计了有效的稀疏重构方法，显著提升了现有阈值迭代方法的性能。新方法在标准信号测试以及核磁共振图像重构上有着非常优秀的表现。本项目的研究成果为稀疏优化提供了新的有力工具，也为解决各类实际应用问题提供了更可靠平台，对于稀疏优化算法和理论研究有着重大推动作用。