带双时间尺度马尔科夫链的随机最优控制问题及其在金融数学中的应用

This project is concerned with the stochastic optimal control problems with two-time-scale Markov chains. The main point of innovation is the underlying Markov chain has a two-time-scale structure, which can be used to describe markedly different changing rates of various factors in real-world system. By means of the theory of singular perturbed Markov chains, dynamic programming principle and viscosity solution method, we will study, as the time-scale parameter goes to 0, the structure of the limit system and the convergence of the value function of original problem (to that of limit problem), as well as the issue of convergence rate. Using the optimal feedback control of the limit problem, we try to derive a feedback control for the original problem, which will be shown to be asymptotically optimal. Finally, we will investigate the numerical methods for the associated HJB equations. In the meantime, the theoretical results will be applied to financial problems in two-time-scale regime-switching market, and the corresponding economic interpretation will be reported.

本项目研究带双时间尺度马尔科夫链的随机最优控制问题。主要创新点在于系统中马尔科夫链具有双时间尺度结构，以描述现实世界中不同元素变化速率之间的显著差异。我们主要借助马尔科夫链奇异摄动理论、动态规划原理和粘性解理论，研究当分离时间尺度的参数趋于0时，极限控制系统的结构和原始控制问题值函数的收敛性（收敛于极限问题的值函数），并给出收敛速率。我们将尝试利用极限问题的最优反馈控制，构造原始问题的渐近最优反馈控制。最后，我们还将研究相应HJB方程的数值解法，同时将理论结果应用于双时间尺度趋势转换市场中的金融数学问题，并给出经济学意义。

本项目以马尔科夫链相关的概率论与随机分析理论为基础，以动态规划原理和偏微分方程粘性解理论为框架，深入探讨了带双时间尺度马尔科夫链的随机最优控制问题，得到了一些具有创新性的理论结果。同时，本项目也将理论结果应用于金融数学领域，为投资者的决策提供合理化建议。..本项目的工作建立和发展了带马尔科夫链的随机最优控制问题的动态规划理论框架，解决了一般形式动态规划原理的证明、动态规划方程的粘性解刻画、反馈最优控制的构造等具有基本重要性的问题，在基础理论和实际应用方面均取得了若干创新性和突破性成果。..在本项目的支持下，共正式发表（或在线发表或已接收即将发表）3篇论文：以长文（Regular Paper）的形式在国际控制理论领域顶级期刊Automatica发表论文1篇（独立作者）；在国际运筹学领域权威期刊Annals of Operations Research发表论文1篇（第一作者）；以长文（Regular Paper）的形式在国际控制理论领域顶级期刊Automatica接收论文1篇（第一作者和通讯作者），即将于近期正式发表。