非线性色散方程的确定的和随机的适定性研究

Nonlinear dispersive partial differential equations (PDEs) are important models describing wave phenomena in various branches of physics and engineering. Over the last few decades, harmonic analysis method, which includes space-time analysis, oscillation integral and Fourier restriction theorem, has played a crucial role in the development of the subject. Furthermore, in recent years, a non-deterministic point of view has been introduced into the study of nonlinear dispersive PDEs,enabling us to study typical behavior of solutions in a probabilistic manner and go beyond the limit of deterministic analysis. The main objective of this proposal not only includes the traditional research on dispersive equations, such as well-posedness, global behavior etc; but also includes probabilistic analysis for dispersive equations, such as nvariant measure, almost sure global well-posedness, stochastic dispersive equations and so on. The main tool of this proposal is Bourgain's method, while the standard one is usually not applicable due to some restrictions, therefore one of the main question is how to modify or even improve Bourgain's argument according to different problems.

非线性色散偏微分方程是描述波动现象的重要数学模型，在物理和工程的众多领域中有着广泛的应用。在最近的几十年中，包括时频分析、振荡积分理论和傅里叶积分限制性理论等大量的调和分析方法在色散方程的研究中起到了关键的作用。近些年，一类非确定(或随机)的分析想法被引入到非线性色散方程的研究中来，并取得了一系列丰富的成果。利用概率的方法研究色散方程，不仅能给我们新的视角，更重要的是运用随机的方法可以得到一些无法用传统的确定性方法得出的新结果。本项目的研究范围既包括传统的对色散方程的研究，比如适定性问题、整体解的动力行为等；还包括有关色散方程的概率的和随机的分析，比如不变测度，几乎整体适定性，带有可加性时空白噪声的随机系统的适定性等。本研究的主要工具是Bourgain型函数空间方法，但是经典的Bourgain空间往往不能直接运用，因此如何根据具体情况对此方法进行改进是本项研究的关键。

色散是自然界中普片存在的自然现象。最著名的例子是雨后的彩虹，其形成的原理来自于太阳光在大气层中的色散效应。非线性色散方程，如非线性薛定谔方程和非线性波动方程等，是用来描述自然界中波动现象的重要模型。在过去的30年中，色散方程有着长足的发展。在确定性研究方面，Kenig, Bourgain, Tao等结合调和分析方法开发了一系列的新工具并极大增进了该方向的研究。近年来，色散方程结合概率理论而形成的随机色散方程的研究变得越来越重要。由于许多实际问题中难免会出现随机扰动，这些现象需要随机色散方程理论给出理论解释。我们在该方向取得了一些进展，尤其是分数阶薛定谔方方程，随机(初值)的分数阶薛定谔方程，不变测度的构造，几乎整体适定性等方面的研究地增进了人们对该领域的认知。