水波中某些非线性色散方程的适定性研究

In this project we will apply the theory of harmnoic analysis, semigroups of differential operators and functional analysis to study the Cauchy problems for Ostrovsky equation and Kawahara-type equation which describe the motion of water waves. The main content includes two parts: (1)Combining the theory of the partial differential equations with semigroup of operators, applying the Fourier restriction norm method and its modification, modified Bourgain spaces, dyadic bilinear estimates and fixed point theorem, we will study the local well-posedness of the Cauchy problems for Ostrovsky equation and Kawahara-type equations in Sobolev spaces or modified Sobolev spaces. (2)Based on the local well-posedness, by carefully choosing the suitable function spaces and applying the I-method or modified I-method, we will establish the global well-posedness.. . .

本项目拟运用调和分析, 微分算子半群理论以及泛函分析理论去研究描述水波运动的Ostrovsky方程和Kawahara型方程的Cauchy问题。内容主要涉及两个方面：(1)综合运用偏微分方程理论，结合算子半群理论，Fourier限制范数方法及其修正方法，修正的Bourgain空间，二进制双线性估计和不动点定理来研究Ostrovsky方程和Kawahara型方程的Cauchy问题在Sobolev或修正Sobolev空间中的局部适定性。（2)在局部适定性的基础上，选择合适的函数空间，利用I-方法或者修正的I-方法建立整体适定性。

本项目主要研究某些色散波方程的局部适定性与不适定性以及整体适定性。 具体内容包括:1、使用修正Besov空间和Strichartz估计，研究了具有负色散Ostrovsky方程在临界指标处的局部适定性；2、使用Bourgain空间和环上的Strichartz估计，研究了高阶水波方程的局部适定性与整体适定性；3、使用Bourgain空间和I方法，研究了一个五阶水波方程的局部适定性和证明了在Bourgain空间中双线性估计不成立；4 、使用修正Bourgain空间和Strichartz估计，研究了一类高阶KdV型方程在修正Sobolev空间中的适定性与不适定性；5、使用Bourgain空间和Strichartz估计以及伊藤公式，研究了一个具有噪声扰动的高阶色散波方程的局部适定性、整体适定性以及解的极限性质。