几类非线性色散波方程的适定性和散射理论

本项目拟运用调和分析，泛函分析工具研究一些具有重要数学物理意义的非线性色散方程和波动方程。内容主要涉及两个方向：（1）运用Fourier限制模方法、I方法研究色散波方程的低正则性理论。特别地，通过开发I方法的一种修正技术和周期型双线性Strichartz估计，研究周期型广义KdV方程最佳的整体适定性和无条件唯一性，从而改进I-team的结论。（2）运用Profile分解（或集中紧方法）研究色散波方程的整体适定性，爆破和散射理论。特别是运用变分方法，构建新的证明框架，研究不具有Scaling不变性的方程的动力学行为；开发一种扰动技术研究不具有Galilei不变性的方程（如Beam,KdV,高阶Schr?dinger方程）的动力学行为；同时拟运用线性色散方程的谱理论，研究能量位于基态附近的临界Schr?dinger方程（如质量，能量临界等）的动力学行为。

本项目主要就偏微分方程领域中的数学理论展开研究，特别是在运用调和分析工具研究色散波偏微分方程方面。 研究的模型包含Schrödinger方程，波动方程，Euler-Poisson系统，以及磁流体力学方程等。它们是量子力学，水波，以及等离子物理学中的基本模型。特别地，主要研究色散波方程和流体力学方程的动力学行为，如方程的适定性（包含局部适定性，不适定性和整体适定性）、爆破理论、散射理论、以及稳定性等。.. 本项目取得了很好的进展。随着对问题的深入理解，和研究的深化，我们对研究内容作了部分调整。特别地，已接受发表的成果如下：.1．.关于Euler-Poisson方程的研究。与Dong Li合作，我们解决了二维Euler-Poisson方程Cauchy问题光滑小解的整体存在性问题, 该问题至1998年Guo Yan解决三维问题后成为著名的遗留问题。文章被国际非常具有影响力的杂志Journal of the European Mathematical Society(见16 (2014), 2211-2266)接受发表..2．.关于导数Schrödinger方程的研究。导数Schrodinger方程在1993年被证明当质量严格小于基态质量时整体适定。我们证明该方程, 当初值质量略大于基态质量时, 解在能量空间依然整体适定。这个结果表明, 基态质量并非是整体存在性和爆破的质量门槛. 这一现象与临界位势的Schrodinger方程及广义KdV方程完全不同. 我们的证明方法是变分方法及其能量动量守恒. 该文被国际非常具有影响力的杂志Analysis&PDE(见6 (2013), 1989-2002)接受发表. 最近, 我们的研究再次获得了非常好的进展, 我们进一步证明, 当初值质量小于两倍基态质量时, 解在能量空间依然整体适定。