高维非线性色散方程Cauchy问题的低正则性

非线性色散方程低正则性的研究是近年来国际偏微分方程界的热点之一。本项目研究一类空间维数至少是2维的非线性色散方程Cauchy问题的适定性理论的低正则问题，例如高维Schr?dinger方程，波动方程，Beam方程，二维的Ishimor方程，Davey-Stewartson方程等。本项目将系统研究这些方程在高维空间中所展现的新的的色散性质及非线性项结构，具体将利用Fourier限制理论，震荡积分估计和频率二进制分解等开发这类方程的色散性质；然后运用频率二进制分解，Bourgain空间，Gauge变换等方法处理非线性项。通过研究，一方面，发展和完善高维空间中的基本色散估计，如一类色散半群的衰减估计，Strichartz估计，光滑效应估计，极大函数估计等，并推广高维空间中的Bourgain空间方法等；另一方面，解决或改进这些情形中包含的具体问题，例如上述方程的低正则性，长时间行为等。

本项目主要研究高维非线性色散方程的低正则性问题。在本项目执行期间(2012年1月至2012年12月)，主要完成了: .1.对高维周期薛定谔方程的研究，得到了大部分高维周期半线性薛定谔方程在临界空间中的适定性；.2.研究了高维各向异性的薛定谔方程，并首次得到了部分问题在周期情形下的最优(sharp)正则性结果；.3.对高维无理环面上的色散方程进行研究，改进了部分已知的结论；4.对部分周期的高维色散方程进行研究。. 通过我们的研究，使得对高维色散方程的结构和性质有了更进一步的了解，尤其对于周期问题和各向异性的高维问题。比如揭示了对于各向异性色散问题，周期与非周期情形有着本质的差异。