环面拓扑中流形的刚性与上同调环计算问题

Rigidity problem of manifold is about when the homotopy type (or the cohomology ring) of a manifold can determine its homoemorphism class (or diffeomorphism class), it is a fundamental problem in topology. In the 20th century topologists studied this problem under various conditions. We propose to, in this project, study this problem for the manifolds in toric topology, such as, moment-angle manifolds, qusitoric manifolds and small covers..On the other hand, In 1990s, Davis-Januszkiewicz gave a formula to calculate the cohomology ring with mod 2 coefficient of small covers ; Cai-Choi in 2016 gave the additive structure of the cohomology group of small covers. However, there is no general result about the mutiplication structure of their integral cohomology ring so far. In this project, we will use the Cartan-Leray spectral sequence to calculate the integral cohomology ring of small covers. Moreover, we will use Rothenberg-Steenrod spectral sequence to compute the cohomology ring of some other spaces in toric topology, such as toric orbifolds.

流形的刚性问题，即什么时候该流形的同伦型（或上同调环）能唯一决定其同胚类（或微分同胚），是拓扑中一类基本问题。关于该问题，上世纪的拓扑学家给出了许多不同层面的回答。本项目将围绕该问题对环面拓扑中的几类基本的研究对象：矩角流形，拟环面流形和小覆盖的刚性问题展开研究。. 另一方面，对于小覆盖，上世纪90年代Davis-Januszkiewicz给出了其模2系数的上同调环公式；蔡力-Choi 于2016年得到了其整系数上同调群的加法结构。但是对于其整系数上同调环的乘法结构至今还没有一般结果。本项目将利用Cartan-Leray谱序列来计算小覆盖的整系数上同调环结构。此外，本项目还将利用Rothenberg-Steenrod谱序列来计算环面拓扑中其他空间，如环面带角流形的上同调环。

环面拓扑是九十年代兴起的代数拓扑中一个比较活跃的分支，其与代数几何、辛几何、组合数学、交换代数等其他数学分支都有交叉。本项目主要研究环面拓扑中的两类带环面作用的流形：矩角流形和环面流形的各类代数和几何性质，重点研究其分类问题、上同调刚性问题以及上同调环的计算问题等。.围绕这些问题，本项目执行过程中取得了丰富的结果：我们利用流形的手术理论证明了Gitler-Lopez的一个猜想；结合微分几何的一些结果证明了Fano多面体对应的矩角流形具有正Ricci曲率度量；给出了单纯球面连通和操作对应的矩角流形的上同调公式；利用同调代数中Taylor分解等工具证明了具有某些组合性质的单纯球面对应的矩角流形和环面流形具有上同调刚性等等。这些结果在代数几何、交换代数和组合数学等领域都能找到相关应用，促进这些数学分支之间的交叉融合。.此外，在本项目的研究过程中，我们还利用等变上同调理论和E-M谱序列等找到了一系列新的计算环面拓扑空间的上同调环的方法，并将其中一些结果与组合数学中单纯流形的计数问题联系了起来。这些探索性工作对本项目的延伸及新工作的开展都起到了至关重要的作用。