分数阶扩散方程中逆问题的正则化方法

本项目研究分数阶扩散方程中的反问题的几种正则化方法。分数阶扩散方程主要描述不规则扩散过程，主要应用于如下几种情形：具有长时暂时性记忆的平衡系统的张弛（例如聚合物链和细胞膜），无序系统中的不规则传输，分形中的扩散以及蛋白质折叠中的非Markov动力过程的刻画等等。这些问题反映了与物理化学有关的多种复杂现象，在其它学科的研究中和实际工程问题中都是非常重要和亟待解决的。在理论上我们要对该类问题建立多种有效的正则化方法，以恢复解的稳定性，同时建立误差估计并进行最优性分析。在计算方面我们将在正则化理论的基础上构造稳定可行和有特色的算法并进行必要的数值试验。由于分数阶扩散方程比标准扩散方程有着更大的难度，在计算上也有更大的计算量，尤其在反问题方面的研究无论理论还是计算都很滞后。因此本项目的研究将会促进分数阶反问题及其相关领域数学理论的发展，同时也有望为解决有关实际问题提供理论支持。

本项目研究一类分数阶扩散方程中的反问题的正则化方法。分数阶微积分已逐渐被证实比整数阶微积分更适于描述一些物理化学现象，例如无序扩散现象。分数阶扩散方程中的反问题目前是国际上研究的热点与难点，仍旧有许多待解决的问题。我们针对反向扩散问题、逆热传导问题、源项识别问题给出一些正则化方法。对于反向扩散问题和源项识别问题，基于Green函数，我们给出基于再生核Hilbert空间的离散Tikhonov正则化方法，并用数值例子验证了方法的有效性。对于逆热传导问题，利用Fourier变换技术，基于Dirichlet核，我们给出了磨光化方法，数值结果表明我们的方法是有效的。