稀疏框架及相关问题研究

Sparse frame is one of research focus in information and mathematics interdisciplinarity theory. Since sparse frame possesses potential and large applications in analysis of streaming signal, face recognition and so on, an increasing number of scholars abroad study it, and obtain only a few basic results. Theory system of sparse frame has not been established yet. But the published results have not been found at home . The contents of this project are the following: 1, to study the sparsity and optimal sparsity of unit-norm frames under which some eigenvalues of the cooresponding frame operator are smaller than 2; 2,to discuss the sparsity and optimal sparsity of the equiangular frames; 3,to develop and supply the sparse theory of finite frames; 4,to explore the basic theory of sparse frames in infinite dimensional space; 5, to improve the estimate of distance which is from nearly Parseval frame to equal-norm Parseval frame, and to investigate whether the estimate of distance depends on the number of frame elements.

稀疏框架是信息和数学交叉理论中研究热点之一。由于它在流信号分析、人脸识别等方面具有潜在的广阔应用前景，所以国际上越来越多的专家学者投入到其研究中，到目前仅仅取得了一些基本结果，还未建立其完整理论体系，但在国内尚没有看到公开发表的结果。本项目将研究稀疏框架及相关问题：1，研究部分特征值小于2的框架算子对应的单位模框架类的稀疏性和最佳稀疏性；2，讨论等角框架类的稀疏性和最佳稀疏性；3，发展和丰富有限框架的稀疏理论；4，探索无限维空间上稀疏框架的基本理论；5，改进 近Parseval框架与等模Parseval框架的距离估计值及探索这个距离估计值与框架元素个数的依赖性。

项目组做的工作如下：.1．利用特征值分析理论、欧氏空间的几何结构和Spectral Tetris算法的深刻性质获得了部分特征值小于2 的框架算子对应的单位模框架的稀疏性和一类这样框架的最佳稀疏性。同时，上述结果的方法也适用具有有限特征的局部域上Gabor框架等。考虑了稀疏框架定义中的 小 l 1模被小 l 2 模和小l无穷模代替后单位模框架的稀疏性并发现这三种模反映的稀疏性侧重点不同，小 l 1 模反映框架的整体稀疏性，小l无穷模反映框架的局部稀疏性。.2． 根据欧氏空间上等角向量的分布类型，在一定条件下给出一类等角框架稀疏性及这类框架中一子类等角框架的最佳稀疏性，并将这些结果推广到欧氏空间上的一般广义框架。同时，基于研究无限维空间上框架稀疏性的需要，建立了框架的对偶框架另一特征刻画。.3． 基于讨论无限维空间上框架稀疏性的需要，选择小 l 1 距离和小 l 2 距离给出了稀疏框架列的逼近相关结果，同时发现小 l 2 距离可引申到大 L 2 距离，进而考虑了平方可积函数空间上某些函数列构成框架的性质，例如Sobolev空间上小波包系形成框架的性质及离散情形下广义平移不变系组成框架的充要条件等。.4． 提出无限维空间上一类框架（包括平方可积函数空间上小波型框架类）的稀疏性概念并分别从时域和频域两个方面给出了生成元具有紧支集的小波型框架类的稀疏性。同时，基于小波型框架类的稀疏性，给出了两类函数空间的紧小波系数的特征刻画；提出了广义Bessel点列成为广义紧框架或广义框架的两个方法及它们的原理；建立了紧框架的任意阶Sigma-Delta量化近似误差分析。.5． 利用精细的估计技巧改进了 近Parseval框架到等模Parseval框架的小l 2 距离已有的估计值并在某些条件下给出了 近Parseval框架到等模Parseval框架的小 l 2 距离较优估计值。.6.发表15篇论文；出版著作1部；举办1次研讨会，参加10次学术会议(其中会议报告7次)；培养已获学位9名研究生，正在培养在读研究生5名。