数据驱动的小波框架构造及稀疏重构

Sparse presentation and recovery is one of the hot issues in the fields such as applied mathematics, statistics, and digital image processing. We are interested in data-driven wavelet analysis. Different from the traditional wavelet analysis, data-driven wavelet frames depend on the given data and obtained by solving some optimization model. Compressed sensing theory, low rank matrix recovery, classical wavelet frame theory and convex/non-convex optimization are our main tools. Sparse presentation and recovery are entry points. We propose to study the MRA of data-driven wavelets, the non-linear approximation of data-deriven wavelet coefficients, the stability of optimization models and related topics. We also try to apply our theories and algorithms to information mining problem raised in vast marine remote sensing images.

数据的稀疏表示与重构已经成为应用数学、统计学、数字图像处理等领域的研究热点。项目致力于数据驱动的小波分析理论。有别于传统的小波分析理论，数据驱动的小波框架构造依赖于数据本身，对数据具有稀疏表示的小波系统往往通过求解优化模型获得。研究工作以压缩感知理论、低秩矩阵恢复、经典小波框架理论、凸/非凸优化理论等相关数学理论作为主要技术工具；以稀疏表示与重构作为研究切入点；分析数据驱动的小波的多尺度结构、小波系数的非线性逼近阶、优化模型的稳定性等相关问题；同时我们将相关的理论研究应用到海量海洋遥感图像的信息挖掘问题中。

项目致力于复小波在图像处理，压缩感知等问题中的应用，结合具体的数据，建立模型，提出算法，实现图像恢复。有别于传统的小波分析理论中，数据驱动的小波框架构造依赖于数据本身。研究内容的第一部分以理论研究为主，围绕关于稀疏表示系统提出的公开问题展开。研究内容的第二部分主要考虑基于稀疏约束的优化模型在理论上的合理性及其在图像处理问题上的应用开展。研究工作按照研究计划有序展开，研究成果包括小波分析在图像处理中的应用，稀疏信号恢复算法与模型的研究两个方面。具体而言.1.1.证明了随机卷积矩阵下，正交匹配算法的收敛性问题。得到信号在有界噪声或稀疏噪声干扰下的恢复结果。给出了双正交基字典下正交匹配追踪算法的收敛性刻画，回答了该工作回答了Alfred M. Bruckstein，David L. Donoho，Michael Elad在2009年提出的公开问题。.1.2.首次给出了二进制迭代硬阈值算法(BIHT) 的收敛性和稳定性分析，建立了 BIHT 和非凸的投影次梯度下降算法的联系，从而从理论上证明算法产生的序列有界但不收敛，同时我们构造反例说明了界的紧性。.1.3.较系统地将复紧小波框架应用到图像恢复，医学图像处理等问题中，为磁共振快速成像提供了新的研究方法。.成果推动了这两个领域数学理论的完善，也为相关的工业应用提供了理论保证。