基于超几何级数的特殊函数与特殊数学常数的研究

Special functions play important roles in mathematical physics, number theory, combinatorics, asymptotic analysis, differential equation, numerical computation, and so on. Mathematical constants, such as pi, Euler-Mascheroni constant and Catalan constant, are all special values of some special functions and widely used in mathematics and physics. Hypergeometric series method is a commonly used method in combinatorial mathematics, but its applications in special functions and special mathematical constants still need further exploration. In this project, based on the summation and transformation formulae of hypergeometric series, on the one hand, we will study the series expansion formulae for some mathematical constants such as pi, Euler-Mascheroni constant and Catalan constant, and some special functions such as Riemann zeta function and related functions. On the other hand, we will study the representations of multiple hypergeometric series for different special functions, such as Legendre, Jacobi, Bessel, Hermite and Laguerre functions, and investigate the related properties of these special functions. This project will not only promote the development of special functions and special mathematical constants, but also extend the application range of hypergeometric series method, and provide a new research perspective for special functions and special mathematical constants.

特殊函数在数学物理、数论、组合论、渐近分析、微分方程、数值计算等领域有广泛而重要的应用。圆周率、Euler-Mascheroni常数、Catalan常数等数学常数，可以看作是特殊函数的特殊取值，在数学和物理上应用广泛。超几何级数方法是组合数学中常用的方法，但在特殊函数以及特殊数学常数方面的应用还需进一步探索。本项目旨在以超几何级数求和与变换公式为基础，一方面研究圆周率、Euler-Mascheroni常数、Catalan常数等特殊数学常数和Riemann zeta函数及其相关特殊函数的级数展开式。另一方面研究Legendre、Jacobi、Bessel、Hermite以及Laguerre等特殊函数的多重超几何级数表示，并以此研究这些特殊函数的相关性质。本项目既能够促进特殊函数以及特殊数学常数的发展，又可以拓广超几何级数方法的应用范围，为特殊函数论以及特殊数学常数的研究提供新的研究视角。

某些特殊函数以及特殊数学常数在数学和物理的很多领域有着广泛而重要的应用，本项目旨在利用超几何级数方法建立它们的恒等式、级数展开式以及渐近展开公式。三年来，我们对相关课题进行了系统地研究，并取得了积极的进展，共完成论文七篇。我们的研究结果有（1）将微分算子直接作用于超几何级数中的升阶乘，改进Newton–Andrews方法，以五个经典超几何级数求和公式为基础，利用digamma函数的相关性质，建立一批无穷和调和数恒等式。进一步，我们利用Bell多项式建立了升阶乘的高阶导数的表达式，推广了上述改进的Newton-Andrews方法，建立大量可表示为圆周率，Euler-Mascheroni常数，Catalan常数和Apéry常数等特殊数学常数的广义调和数求和公式。（2）利用指数型完全Bell多项式和发生函数的方法，建立了两个有关超阶乘函数与Glaisher-Kinkelin 常数的渐近展开公式以及更为一般的调和数渐近展开公式。（3）利用两个二次变换公式建立两个一般形式的双变量超几何级数变换公式，并以此推导出新的双变量超几何级数的简化公式。用著名的Jackson变换和Heine变换公式建立了几个一般形式的双变量q-级数变换公式。经过参数特殊化，推导出一系列关于q-Kampé de Fériet函数的简化和求和公式（4）基于置换及整数的有序分拆，利用多重多对数函数建立含2的幂次的Euler和的表达式，证明此类Euler和都可以用单位指数的交错多重zeta值表示，并以此研究一些特例，编写了自动计算此类Euler和的程序，得到几个交错多重zeta值的恒等式。