交换代数中与组合和代数几何交叉的课题的研究

Different from the traditional commutative algebra which mainly studied commutative rings and their ideals, the modern commutative algebra is developing in two directions. One is to obtain applications in combinatorics, which forms combinatorial commutative algebra; another is to give a new basic theoretical support for algebraic geometry and arithmetical algebraic geometry. This program study mainly the interacting topics of commutative algebra with combinatorics and algebraic geometry. We study the Betti numbers of the Stanley-Reisner rings of simplicial complexes, their Cohen-Macaulayness and Gorensteinness, and the corresponding combinatorial properties. We also study the Stanley depth and the Stanley conjecture in combinatorial commutative algebra. In the aspect of the researches on tight closure and multiplier ideal sheaves, we study mainly a few well-known problems on tight closure, the test ideals which is tightly related with multiplier ideals sheaves, and the local properties of multiplier ideal sheaves. It is expected that there will be some progresses on our researches on Stanley conjecture and the local properties of multiplier ideal sheaves. Following the top research area and focusing on applications and the background in geometry is the feature of this program.

现代的交换代数学科，已逐步超越了传统的交换环和理想的理论研究的范围，主要向两方面发展。一方面在组合数学中获得应用，产生了组合交换代数；另一方面为代数几何和算术代数几何提供新的基础理论支撑。本项目主要研究交换代数与组合论和代数几何相交叉的课题。研究单纯复形的Stanley-Reisner环等交换分次环的Betti数等不变量、何时具有Cohen-Macaulay性质和Gorenstein性质，以及所对应的组合性质；研究Stanley深度及组合交换代数中著名的Stanley猜想。同时，我们将研究紧闭包、乘子理想层及相关的一些前沿课题。主要研究与紧闭包的几个著名问题密切联系的性质；研究与代数几何中的乘子理想层有深刻联系的检验理想；研究乘子理想层的局部性质。预期在Satnley猜想和乘子理想层的局部性质的研究方面会取得重要进展。本项目紧跟国际前沿，研究代数又注重应用和几何背景，具有明显的特色。

本项目计划研究与组合和代数几何有关的交换代数的课题。根据年度研究计划，在有组合背景的课题方面，主要研究了Stanley-Reisner环等一些交换分次环及无平方单项式理想的Stanley深度和Cohen-Macaulay等性质；在由代数几何中问题产生的交换代数局部性质方面，主要研究了乘子理想的性质。项目所取得的成果都在重要数学杂志上公开发表。在基金的资助下，本项目共发表论文12篇，都发表在SCI数学杂志上。.我们研究了与Stanley深度有关的问题，证明了在交叉积及bigsize为2等情形下，Stanley猜想是成立的，相关成果发表在J. Commut. Algebra和Canad. Math. Bull. 上。这些结果作为实例进一步丰富了何时Stanley猜想成立的研究成果。.正则度是重要的代数不变量，我们对理想的交与和等运算后的正则度与原理想的正则度之间的关系的研究方面取得了有意义的成果，对单项式理想的乘子理想的正则度的研究方面也取得了较好的成果，相关成果发表在Comm. Algebra和Czech Math. J.上。这些关于正则度的研究成果在交换代数及代数几何两方面都有学术意义。.对代数几何中的乘子理想层的局部化所得到的交换环的乘子理想的系统研究中，我们得到了乘子理想达到最大和最小情形的充要条件；乘子理想的可实现性、稳定性，以及乘子理想的正则度的估计等结果。相关结果发表在Czech Math. J.，Indian J. Pure Appl. Math.和《中国科学：数学》上。这些结果对应于代数几何中一些著名的结论，有较大的理论意义。.我们还对其他有代数几何背景的交换分次环进行了研究。对多元多项式环的极大理想的第一合冲的对称代数的性质进行了深入的研究，得到了它的维数、深度和重复度，以及正则度的一个可实现的上界。相关成果发表在Comm. Algebra和Ann. Mat. Pura Appl.上。我们对这类对称代数的4个不变量的研究成果具体且完整，体现了较高学术水平。.由域上多项式的分次理想的方幂的Betti数所产生的Betti多项式是近年来的重要研究对象，我们在这方面进行了深入的研究。证明了在一定的条件下，这个多项式或者为0，或者为次数为特定值的多项式。同时，我们对Borel主理想时，具体计算了它的Betti多项式。有关结果发表在Comm. Algebra上。