Levy过程驱动的无穷维随机动力系统的动力学研究

随机动力系统的Cocycle性质验证和(弱)紧性问题是研究Levy过程驱动的无穷维随机动力系统动力学的关键。本项目基于对高斯过程驱动的无穷维随机动力系统的各类紧性的深入研究，建立Levy过程驱动的随机动力系统的紧性判定方法，系统研究其动力学行为。选取样本空间为赋以Skorohod度量的右连左极Cadlag函数空间，探索一般区域(有界或无界)和不同边界条件（含随机动力学边界条件）下Levy过程驱动的演化方程解的存在唯一性、稳定性、（弱）连续性，不变测度的存在唯一性，随机吸引子、随机惯性流形、近似惯性流形和随机共振等问题，研究随机吸引子、不变测度的几何结构和性质，以及不变测度与随机吸引子之间的关系。比较Levy过程驱动和高斯过程驱动的随机动力系统动力学的异同，分析和讨论随机动力系统与确定性动力系统的本质区别，研究随机因素给动力系统带来的新现象和新问题，为所研究问题的实际工程应用奠定理论基础。

本项目研究Levy过程驱动的无穷维随机动力系统的动力学。 通过三年的研究，课题组在以下几个方面取得重要进展：1、Levy过程驱动的无穷维随机动力系统的随机吸引子与不变流形，利用概率分布来刻划Levy过程驱动的随机部分耗散系统的耗散性，给出随机多值动力系统随机吸引子的存在性；建立了几类随机耗散系统惯性流形的存在性和几何形状刻画，研究了噪声对非线性动力系统的随机不变流形的影响，并提出了用倒向-前向方法对随机惯性流形进行模拟方法；2、Levy过程驱动的随机流体方程的遍历性、鞅解和大偏差原理，提出一种渐近停时方法证明不变测度的存在唯一性和遍历性，给出了鞅解的存在性及Markov选择性结论，研究快慢随机反应扩散系统的大偏差原理及其近似，证明了其速率函数就是快慢系统相应的平均方程的速率函数加上和原系统的截断方程的速率函数。3、Levy过程驱动的随机系统的随机同步与分支现象，证明了稳态轨道和随机吸引子的存在性， 在漂移项满足一定的耗散性和可积性条件下，证明了随机同步现象发生，利用随机平均方法研究了色噪声驱动的双稳Duffing-Van de Pol振子振幅的稳态密度分布函数，通过分析其定性性质变化得到随机分支现象发生；4、在分数噪声系数是Hilbert-Schmidt 紧算子或者nuclear 紧算子的条件下, 修正了Tindel 等人关于分数布朗运动的随机卷积的存在性证明的错误，在系数为非紧的恒同算子的条件下, 利用重级数恒等式证明了相应的随机卷积的存在性及正则性.证明了分数布朗运动驱动的二维不可压非牛顿流方程mild 解的存在唯一性和随机吸引子的存在性。本项目的研究具有理论价值和实际应用价值。