无穷维随机动力系统的动力学研究

本项目对Gauss过程驱动的高维无穷维随机动力系统的各类紧性进行深入研究，建立Lévy过程驱动的随机动力系统的紧性判定方法，系统研究随机动力系统的动力学行为。随机动力系统的Cocycle性质验证和（弱）紧性问题是研究Gauss过程、Lévy过程驱动的无穷维随机动力系统动力学行为的关健。选取样本空间为赋以Skorohod度量的右连左极Càdlàg函数空间，探索一般区域（有界或无界）和不同边界条件（含随机动力学边界条件）下Gauss过程、Lévy过程驱动的发展方程解的存在的唯一性，随机吸引子、随机惯性流形、近似惯性流形和随机共振等问题，研究随机吸引子、不变测度的几何结构和性质，以及不变测度和随机吸引子之间的关系。比较Lévy过程驱动和Gauss过程驱动的随机动力系统动力学的异同，分析和讨论随机动力系统与确定性动力系统的本质区别，研究随机因素给动力系统带来的新现象和新问题。

本项目系统研究了量子Zakharov方程、耗散Zakharov方程、随机耗散的古典Zakharov方程、广义的Zakharov方程动力学行为。.1. 利用古典的Galerkin逼近的方法得到耗散量子Zakharov方程的解在不同的能量空间中的存在唯一性，形成了相应空间中的动力系统，利用不同空间中的一致的先验估计得到动力系统的吸引子；同样获得了量子Zakharov方程对应的动力系统的吸引子及其维数估计。量子Zakharov系统当量子参数h趋于零时逼近于古典的Zakharov方程，并且利用两个系统的差的系统的解的一致的先验估计，在复杂的空间中得到高维意义下的解得逼近，在此基础上得到了解的收敛率，很清楚的了解了两个系统之间的差别。.在随机耗散的量子Zakharov方程的两个随机项都存在的情况下，利Ito公式在期望的意义下进行一致的先验估计，得到随机耗散的量子Zakharov方程的解得存在唯一性，同时也得到了系统形成的动力系统的随机吸引子和不变测度。.对解形成的解半群进行分解，得到了随机耗散的古典Zakharov方程形成的随机动力系统的强吸引子及紧性性质。.通过显示在适当的初始条件下解的一致有界性，证明了广义的Zakharov方程的解收敛到带磁场的非线性Schrodinger方程的解。.2. 利用对尾项的一致先验估计得到Heisenberg磁场中的随机流体力学方程的渐进紧性。得到了相应的随机动力系统的随机吸引子的存在性，同时也得到了随机吸引子的正则性，它表明了在概率意义下的方程解的渐进光滑性。.对于随机耗散的长短波方程在两个随机项都存在的情况下，利用Ito公式在期望的意义下进行一致的先验估计，从而在得到随机长短波方程的解得存在唯一性。同时动力系统的随机吸引子存在性被证明，以及解映射的不变测度的存在性。.3. 利用系列精细的估计证明Ginzburg-Landau方程整体光滑解的存在性和整体吸引子的正则性，证明了三维复Ginzburg-Landau方程解的时间解析性，在复域上的分析讨论了它的近似惯性流形的存在性。.4. 通过Hermite变换和Darboux变换研究了随机的Wick型KP方程，得到了它的随机单孤子解和随机多孤子解。给出了非等谱的KP-II方程双Darboux变换的表示形式。通过双Darboux变换，构造了非等谱的Lump解和高阶的Lump解。