关于Liénard方程的极限环及其相关问题的研究

The aim of this project is to investigate the limit cycles of Liénard equations and related problems, with an emphasis on the polynomial case. Precisely, we will study the following five problems with respect to Liénard systems. （i）Computation of focus values and cyclicity. Recently we have found that the focus values of Liénard systems can be well expressed by using an operator (called Zhang operator). We will apply the Zhang operator to compute focus values and cyclicity of some polynomial Liénard systems of lower degrees. （ii） The LMP conjecture (with an emphasis on the case of degree five). There are important progresses on the study of the LMP conjecture. It has been proved that the LMP conjecture holds for the case of degree less than five, and does not hold for the case of degree greater than five. We will study the LMP conjecture for the unique unclear case of degree five. （iii） Estimation of the amplitude of limit cycles. To find better upper and lower bounds for the amplitude of the limit cycle of Liénard systems with symmetry. （iv） Problems of critical periods. To give an upper bound of the number of critical points of the period functions for the some polynomial Liénard systems of lower degrees. （v） Convexity and star-shapedness of closed orbits. To find more general and easier verified conditions for the convexity or star-shapedness of closed orbits (if exist) for planar systems, special for Liénard systems.

本项目旨在研究 Liénard 方程的极限环及其相关问题，注重多项式情形。具体说来，本项目关于Liénard 方程要研究以下五个问题。（i）焦点量和环性数的计算. 最近我们发现Liénard系统的焦点量可以用一个算子（我们称之为张算子）来表示。我们将应用张算子计算一些低阶多项式 Liénard 系统的焦点量和环性数。（ii）LMP 猜想 (着重五次情形). 近年来LMP 猜想的研究取得了重要进展。 LMP猜想除五次情形之外已获得解决。我们将研究五次情形的LMP猜想。（iii） 极限环振幅的估计. 寻求Liénard系统极限环振幅的上下界。（iv） 临界周期问题. 针对一些低阶多项式 Liénard系统，估计其周期函数临界点个数的上界。（v）闭轨线的凸性和星形性. 寻找更一般的且容易验证的充分条件，使得一般平面系统特别是Liénard系统的闭轨（如果存在）是星形的或凸的。

本项目旨在研究 Liénard 方程的极限环及其相关问题，注重多项式情形。具体说来，本项目关于Liénard 方程要研究以下五个问题。（i）焦点量和环性数的计算. 最近我们发现Liénard系统的焦点量可以用一个算子（我们称之为张算子）来表示。我们将应用张算子计算一些低阶多项式 Liénard 系统的焦点量和环性数。（ii）LMP 猜想 (着重五次情形). 近年来LMP 猜想的研究取得了重要进展。 LMP猜想除五次情形之外已获得解决。我们将研究五次情形的LMP猜想。（iii） 极限环振幅的估计. 寻求Liénard系统极限环振幅的上下界。（iv） 临界周期问题. 针对一些低阶多项式 Liénard系统，估计其周期函数临界点个数的上界。（v）闭轨线的凸性和星形性. 寻找更一般的且容易验证的充分条件，使得一般平面系统特别是Liénard系统的闭轨（如果存在）是星形的或凸的。