信号时频分析与包络的数学模型

The time-frequency analysis for nonstationary and nonlinear signals is one of the hottest research points in current information science, the key problem in which is to compute the instantaneous frequency and instantaneous amplitude of a signal and finally give the time-frequency distribution. These can be turned down to the reaserch on the envelope, which is a fundamental concept in signal analysis. It's known that the rigorous mathematical thoery on envelope has not been established yet and the existing models are empirical. In this project, we plan to establish the mathematical theory of signal envelope by defining an envelope operator based on the understanding on the physical attributes of the envelope of signals. And we will use the optimization algorithm to calculate the discrete envelope. This is an original research for the mathematical theory of signal envelope. It can avoid the undershoot problems which usually appear in the empirical models. We will further study the mathematical model for the mono-component signal and its time-freqency analysis, and design the algorithm for adaptive and sparse representation of the signals. This project is an interdisciplinary research of mathematics science and information science. The expected achievements will not only enrich the theory of time-frequency analysis and signal processing but also have broad prospects for applications.

非平稳非线性信号之时频分析是当前信息科学中的研究热点，其核心的问题是计算信号瞬时振幅和瞬时频率，从而给出其时频分布。对这些问题的研究可归结到信号包络这一基本概念。然而，包络的严格数学定义和理论并没有建立起来。已有的包络模型都是经验的估计算法。本项目拟从对包络的物理内涵的理解和数学表达出发，拟采用算子模型建立包络的数学理论，进而对算子方程的存在性等性质给予研究。在求解上，采用离散化模型通过优化方法计算。本研究力图从源头上建立包络的数学理论，同时从算法上解决经验包络的欠包现象等问题。另外，我们将在包络理论的基础上，研究单分量信号的模型和时频分析，并给出信号自适应稀疏表示方法。本项目属于信息科学与数理科学的交叉研究课题，所得的成果不仅能丰富相关学科的理论知识，而且有广阔的应用前景。

非平稳非线性信号之时频分析是当前信息科学中的一个热点研究领域，其核心的问题是计算信号瞬时振幅和瞬时频率，从而给出其时频分布。对这些问题的研究可归结到信号包络这一基本概念,包络的研究对于单分量信号模型的建立至关重要。利用单分量信号所形成的高度冗余字典，通过自适应稀疏分解获得信号的稀疏表示。由于每一个分量均为单分量信号，有明确的时频结构，可以计算出其瞬时频率和振幅，从而得出信号的时频分布。在本项目中，我们深入研究了时频分析与非平稳信号处理领域内的若干重要问题，完成了如下工作：（1）基于包络的物理内涵建立包络的数学模型一直是本领域中基本的源头性问题。我们前期在该研究领域取得了良好的进展，提出了包络迭代新模型，基于新模型的包络能够在保持光滑性的同时消除欠包络，获得与物理包络非常吻合的结果，其结果优于相关的其他同类方法，且由此得出的新的时频分布更符合信号的物理本质。在本项目中，我们从研究欠包络的结构入手，对该迭代模型算法的收敛性进行了深入的探讨，给出了其严格的收敛性证明，最终得出该模型算法只需要指数级的收敛速度即可得出满意的结果。（2）基于最优化模型给出了一种新的信号分解方法：最优平均分解算法。为了使得分解算法更具灵活性，我们没有对分量形式用诸如AM-FM函数或小波基予以事先的限定。同时，通过将信号分解模型限制在各单调区间上来保证分解算法的局部性及自适应性。另外，使用限制在每个单调区域上的全变差TV及高阶TV范数来衡量均值的光滑性，这使得分解算法能避免信号远处信息的影响，减少对噪声干扰的依赖性。最优平均分解算法不仅在理论上与原始EMD算法有着紧密的相似性，同时它还能摒除EMD算法的诸多不足。