Weil-Petersson 万有 Teichmuller 空间

The research is based on the theory of quasiconformal mapping and Teichmuller space, which is connected with low-dimensional topology,complex dynamics, differential geometry and mathematical physics. The research is about the Weil-Petersson metric on universal Teichmuller space, and the aim is to characterize the connected component containing the zero of universal Teichmuller space, under Weil-Petersson metric, and to research its topological and geometrical properties.. Universal Teichmuller space has several equivalent definitions. The main aim is to characterize the subspace in the boudary value model, that is, to characterize a special kind of quasisymmetric homeomorphism of the unit circle. The approach is from the following two: the distortion of the cross-ratio of quadruples on the unit circle and the generalized Fourier coefficients of homeomorphism of the unit circle.

研究背景是单复变函数论中的拟共形映射与Teichmuller空间理论，与低维拓扑、复动力系统、微分几何、数学物理等紧密联系。研究与万有Teichmuller空间上的Weil-Petersson度量有关，目的是刻画万有Teichmuller空间在Weil-Petersson度量下包含零点的连通分支及研究其几何拓扑性质。. 万有Teichmuller空间有几种等价定义模型，主要目标是从边界函数模型刻画这一子空间，也就是刻画一类特殊的单位圆周拟对称同胚。拟采取的方法主要从两个角度：单位圆周上四点对交比的偏差以及单位圆周同胚的广义Fourier系数。

Teichmuller 空间的度量及其几何拓扑性质是多个数学分支学者感兴趣的问题。本研究项目是关于万有 Teichmuller 空间中的一个子空间的刻画，这一子空间与万有 Teichmuller 空间上的 Weil-Petersson 度量直接相关。从万有 Teichmuller 空间的不同模型出发，对这一子空间从不同角度有等价的刻画。本项目研究的目的是从边界函数的角度刻画这一子空间，也就是研究拟对称同胚在什么条件下是可积渐进仿射同胚，也称为 Weil-Petersson类拟对称同胚。国内外关于这一问题的研究近几年取得了突破，这一问题在2013年得以解决。有学者的研究结果给出了单位圆周的保向同胚属于 Weil-Petersson类的充分必要条件。关于万有 Teichmuller 空间的另几类子空间的刻画的研究对 Weil-Petersson类拟对称同胚的刻画有重要的思考和研究价值。