动力系统中关于敏感性、回复性和混沌的若干问题

本项目旨在研究动力系统中敏感性、回复性以及混沌的相关问题。这些问题广泛存在于生物群体动力学、非线性经济演化动力学、气象学、生物医学等各个交叉科学技术领域中，已引起众多科学工作者的关注。. 项目组拟研究系统的敏感性及已有的推广敏感性，给出新的敏感性推广方式并研究其性质，讨论其与现有动力性质（如：传递性、弱混合、强混合等）间的关系；研究动力系统中乘积回复以及弱乘积回复等回复性，给出二者存在的条件，并讨论与所有极小系统弱不交的系统的动力性质；讨论尚未解决的不同定义下混沌之间的关系；研究集值动力系统中相关的动力性质。

复杂性科学是当前世界科学发展的热点和前沿。作为复杂性科学理论之一的混沌理论决不只是一堆有趣的数学现象，它在自然界中有种种表现。一般说来，混沌是比有序更为普遍的现象。我们了解到，混沌学以及复杂性科学已经融入了整个科学体系中。. 本项目的研究主要集中在两个方面：一是关于拓扑动力系统的敏感性及其推广定义的研究；二是关于复杂系统的混沌性进行研究. 本项目总体进展顺利，完成项目研究计划.. 有关敏感性的研究工作中，我们证明了单值系统的Li-Yorke敏感不蕴涵集值系统的Li-Yorke敏感. 通过构造一个Denjoy同胚证明了单值系统的敏感性不蕴涵集值系统的敏感性，进而在此系统基础上乘积一个特殊的区间映射，得到了我们需要的反例.我们也给出了新的推广敏感性的定义：如thickly syndetic敏感；全最大敏感等定义, 并就这些定义与其他广义敏感性和复杂性之间的关系进行了深入的研究. 这些成果拓展了近年来关于推广敏感性的研究工作.. 复杂系统的混沌研究工作中，我们研究了不可数紧致度量空间上动力系统的分布混沌集“大小”问题，证明了分布混沌集的余集是不可数的，构造了与全空间具有相同基数的不变极值分布混沌集；研究了DC3与Li-Yorke混沌之间的关系，通过反例证明了DC3不蕴涵Li-Yorke混沌；研究了有限型区间映射的混沌性态；研究了强Li-Yorke混沌及其相关性质. 这些研究成果都集中在近年来本方向所研究的热点问题.. 本项目的开展在丰富了混沌理论的同时，又为混沌理论在其他学科中的应用提供了理论基础. 无论在理论意义，还是在实际应用上都体现了较为突出的价值.