限制条件下的分拆函数与组合数论中的一些问题

Partition function plays an important role in analytic number theory. Sumsets and representation functions are major subjects in combinatorial number theory. They have a long history and are well concerned by the worldwide mathematicians. The classical partition function is extended into many partition functions with the restricted conditions. Many mathematicians have paid much attention to their asymptotic formulas and Ramanujan congruences. The applicant has obtained asymptotic formulas for some root partition functions and color partition functions. In this project, the applicant continues to study them. There are many problems on sumsets and the applicant mainly considers the upper and lower bounds of the difference of an infinite arithmetic progression in sumsets. Many experts and the applicant also study some properties of the weighted representation function with order 2. In this project, the applicant will study the case in which the order is greater than 2. Through this project, the applicant hopes to further study partition functions and solve some problems in combinatorial number theory.

分拆函数是解析数论的一大分支，和集和表示函数是组合数论中重要的研究课题，它们都有着悠久的历史，引起国内外数论学者的广泛关注。经典的分拆函数衍生出了很多有限制条件的分拆函数，数论学者关心它们的渐近公式和Ramanujan同余等式。在之前的研究中，申请人考虑且得到一些根式分拆函数和着色分拆函数的渐近公式。在本项目中，申请人继续研究它们的渐近公式和同余等式。和集中存在很多问题，申请人主要研究和集中的无穷项算术数列的公差的上下界。数论学者和申请人也考虑了阶为2的加权的表示函数的性质，在本项目中，申请人继续研究阶大于2的情形。通过本项目的完成，申请人希望深入研究分拆函数，解决组合数论中的一些问题。

本项目主要研究分拆函数、和集和表示函数的相关问题，它们有着悠久的历史，引起国内外数论学者的广泛关注。经典的分拆函数已经衍生出很多限制条件下的分拆函数，目前已经具有丰富的研究方法。本项目主要研究根式分拆函数的性质，给出了任意r(r>0)次根式分拆函数的渐近公式和k(k为正整数)次根式分拆函数的奇偶性情况。和集问题是数论中的主要研究课题，本项目主要研究和集中无穷项算术数列的公差的大小。经典的表示函数也得到广泛地推广，本项目主要研究多重线性型表示函数的Erdos-Fuchs型结果及其定量形式。通过本项目的研究，解决了分拆函数、和集和表示函数的一些问题，也为数论开辟了新的研究方向，从而将其相关理论得到进一步完善。