解析数论与组合数论中的几个重要问题

Analytic number theory and combinatorial number theory are two important branches of number theory. Recent years, by the outstanding work of Tao, Green, Gowers and Bourgain, these two branches are combined closely and many new deep ideas and methods appeared, which promoted the development of number theory in whole. In this project, we shall use these new ideas and methods with powerful tools in analytic number thoery to study some important problems in number theory, such as problems of Egyptian fractions, sumsets in vector space and the density of sumfree set modulo prime number. We hope to make substantial progress in these problems.

解析数论与组合数论是两个重要的数论分支。近年来，由于Tao，Green，Gowers和Bourgain等人的杰出工作，促进了这两个分支的交叉融合，产生了很多深刻的新思想、新方法，推动了数论的整体发展。 本项目将利用这些新的思想和方法，并结合解析数论中的有力工具，对于一些重要的数论问题-如埃及分数问题、向量空间上的和集问题以及素数模无和集的密度问题等-展开研究，期待得到实质性的进展。

本项目研究解析数论与组合数论中的几个重要问题，申请人与合作者在除数函数的平方均值、带可乘系数的Kloosterman和、带可乘系数的移位特征和问题上取得重要进展。. 除数函数的平方均值的渐近公式最早由印度天才数学家Ramanujan提出，是印度数论学派研究的一个重要课题。申请人与印度数学家A. Sankaranarayanan得到了渐近公式的一个新的余项估计，这个结果要好过直接应用Riemann猜想所得到的结果。. Kloosterman和在数论中扮演了重要的角色，关于它有系统而深入的研究。加拿大科学院院士A. Granville提出问题，问对于相当广泛的一类Kloosterman和是否有非平凡估计。申请人和龚克解决了A. Granville的问题，其非平凡估计的范围甚至好过先前的一些特殊情形所对应的范围。. 特征和估计是数论中的一个基本问题。早在1930年代，苏联数论大师I. M. Vinogradov就开始研究素变量移位特征和。后来，A. A. Karatsuba又有所改进。申请人和龚克研究了相当广泛的一类移位特征和，得到了非平凡的估计。之后，申请人和龚克以及俄国数学家M. A. Korolev又做了进一步的改进。