解析数论与组合数论中若干重要问题的研究

Recent years, the trend of combination of branches of number theory is getting stronger and stronger, especially in the important fields of analytic number theory and combinatorial number theory. By the deep ideas and excellent works of some outstanding mathematicians such as T. Tao, B. Green, W. T. Gowers and J. Bourgain, the combination of these two branches is greatly promoted, which in turn promoted the development of the whole number theory...In this project, we shall use these new ideas and methods together with some previous works of applicant to study some important problems in the number theory, such as the estimate for the general shifted character sums, general hyper-Kloosterman sums and the problem on sumsets in vector space. We hope to get some new results and to make development on the method.

近年来，数论各分支综合融汇的趋势日趋强劲，尤其是在解析数论与组合数论这两个重要的领域里。由于一些杰出数学家，比如T. Tao，B. Green，W. T. Gowers和J. Bourgain等人的深刻思想和出色工作，大大促进了这两个分支的交叉融合，从而推动了数论的整体发展。. .本项目将利用这些新的思想和方法，并结合申请者过去的一些工作，对于一些重要的数论问题——如一般性的平移特征和估计、一般性的高维Kloosterman和、向量空间上的和集问题等——展开研究，希望得到新的结果，并且在方法上有所发展。

本项目对于解析数论与组合数论中的一些重要问题展开了研究，申请人在强假设下的Siegel零点问题上取得了良好的进展。. 关于Dirichlet L-函数零点的研究是解析数论中重要而困难的问题，特别是关于L-函数靠近于1的实零点的研究尤其重要，这方面的进展有助于推动许多重要的数论问题的进展，例如，算术级数中素数分布的改进等。. 早在1935年，A. Page和C. L. Siegel先后对于L-函数的实零点的上界做出了估计，但远未达到人们期望的程度。这种可能存在的实零点就称为Siegel零点，对此后来没有什么实质性的进展，这就成为了许多数论问题中的一大障碍。. 一些数论学家，如A. Fujii，K. Matsumoto等人在一些强的算术猜想之下，来研究zeta函数或L-函数的零点分布。费晋华建立了Goldbach问题与Siegel零点之间的一种关联，并且在关于Goldbach问题的Hardy-Littlewood猜想的一种弱形式之下，证明了对于模4余3的素数，Siegel零点的上界可以很好地改善。. 申请人进一步地考虑了复合数的奇特征的情形，并且在Hardy-Littlewood猜想的一种弱形式之下，证明了Siegel零点的上界可以很好地改善。之后，一些著名数论学家，如H. Iwaniec，J. B. Friedlander，D. A. Goldston等人，在Hardy-Littlewood猜想的弱形式之下，证明了Siegel零点不存在。