模形式和限制分拆函数的同余性质

The theory of integer partitions is an important research area in both combinatorics and number theory. The research contains partition identities, congruence properties, approximate calculations and so on. In recent years, with the aid of the theory of modular forms, K. Ono and other researchers have made a significant breakthrough in the congruence properties of partition functions. Nowadays, the interdisciplinary research of partitions, q-series and modular forms attracts increasing attention in the field of combinatorics and number theory. Many well-known experts including G.E. Andrews are concerned about the progress of this topic... In this project, we mainly study the congruence properties of two kinds of restricted partition functions by the theory of modular forms. This is in line with the current trend of the theory of partitions. The specific contents include: (1) We will explore the congruence properties of the generalized Frobenius partition functions (we mainly consider the cases of 3 and 4 colors) and overpartition functions. We also use the theory of q-series to study the congruence properties for the case of small prime numbers. (2) We will further explore the systematic method of searching and proving congruence relations of partition functions.

整数分拆理论是组合学与数论中的一个重要研究领域，其内容包含分拆恒等式、分拆函数同余性质及近似计算等。近些年来，K. Ono等人利用模形式理论研究分拆函数的同余性质并取得了重大突破。目前，分拆、q-级数和模形式理论的交叉研究得到了包括美国科学院院士G.E. Andrews在内的世界知名学者们的关注和重视，是当今组合数论界的一个研究热点。.. 本项目主要利用模形式理论研究两类限制分拆函数的同余性质，符合当前分拆理论研究的发展趋势。具体内容包括：（1）探讨推广的Frobenius分拆函数（主要是3色和4色分拆函数）和overpartition函数的同余性质；对于模较小素数的情形，还结合q-级数理论来研究。（2）基于（1）的研究内容，进一步探讨发现和证明分拆函数同余式的系统方法。

本项目旨在研究组合序列的相关性质，特别是同余式。我们以限制分拆函数的性质为出发点开展研究，以机器证明和模形式为主要工具。分拆函数同余性质的研究得到了包括美国科学院院士G.E.Andrews在内的世界知名学者们的关注和重视，是当今组合数论界的一个研究热点。本项目主要进展如下： .首先，我们利用q-级数和模形式中的Hecke特征形研究了l-regular分拆函数的同余性质，得到了l=3, 6, 5, 10和7时的一些Ramanujan型同余式。 .其次，我们研究了美国科学院院士G.E. Andrews教授等人提出的m-ary分拆函数，给出了限制m-ary分拆函数模一般自然数m幂次的一个刻画，解决了Andrews 提出的一个公开问题。 .最后，我们将Abel引理与机器证明算法相结合，得到了构造调和数相关恒等式的一个机械化方法。