时滞反应扩散方程分岔理论与应用研究

This research program includes two aspects. In order to form a systematic theory and research methods for the dynamical study of reaction-diffusion equations with delays (DRDEs), we first make use of modern mathematics to study the effect of structures (including spatial symmetry, spatial non-homogeneity, and cross diffusion) and parameters (including delays) of DRDEs on the existence, stability and bifurcation phenomena of (especially, spatial non-homogeneous) steady states and periodic solutions, with emphasis on the dynamical behaviors (including stability, bifurcation direction, and spatio-temporal patterns) of bifurcating branches, to characterize the existence, multiplicity, asymptotical analytical forms, stability, and bifurcation phenomena of steady states solutions of nonlocal equations (including nonlocal delay effect and nonlocal diffusion) by investigating the eigenvalue problems of nonlocal operators. In the meantime, we employ the new theory and approachs we have established to gain insight into the mechanics underlying pattern formation of real models of DRDEs, to make a reasonable modification or re-establish of some existing mathematical models which can not reflect the objective reality, in order to make them more in line with objective reality and then study them systematically and deeply, and to build a solid theoretical foundation and provide the methods to solve problems for researchers in applied fields. This study not only needs the classic dynamical theory, but also needs some related knowledge about topology, algebra, functional analysis, and computational mathematics. Thus, this study can not only enrich the theory of dynamical system, and may also involves the interaction of different branches of mathematics disciplines, and hence should be of a great importance in both mathematical theory and applications.

研究内容包括两个方面：一是综合运用现代数学知识，研究时滞反应扩散方程的结构（包括对称性结构、空间非齐次性及交叉扩散）和参数（包括时滞）对稳态解和周期解（特别是空间非齐次稳态解和周期解）的存在性、稳定性和分岔的影响，描述分岔解支的稳定性、分岔方向以及时空模式等，通过研究非局部算子的特征值问题来刻画非局部时滞反应扩散方程和非局部扩散方程稳态解的存在性、多重性、渐近表达式、稳定性和分岔现象，形成一套比较系统的理论和研究方法；另外，既深入研究一些具实际背景的时滞反应扩散方程模型模式形成的原因与机制，又针对目前一些数学模型不能很好反映客观实际的缺陷，对模型进行合理修改，使之更符合客观实际，为应用领域的工作者提供一些可靠的理论依据和解决问题的方法。该项目研究既要用到经典的动力系统理论，又要用到拓扑、代数、泛函分析及计算数学等相关知识；既可丰富动力系统理论，又可使不同数学分支学科之间进行相互交叉与渗透。

该研究项目考虑了交错扩散、趋化作用、空间非均匀性、空间对流项、非局部扩散项、非局部反应项以及自由边界对不同的种群模型动力学行为的影响, 如稳态解的存在性与稳定性、经典解的全局存在性与有界性、解的长时间行为、分岔的产生以及分岔周期解的稳定性等；特别是，通过约化方法并结合李群表示论得到了时滞反应扩散方程空间非齐次稳态解的存在性、稳定性、多重性以及空间模式，空间非齐次时间周期解的个数、时空模式、稳定性以及分岔方向；给出了稳态方程在抽象空间中所对应的线性泛函，并在抽象空间中构造出研究该系统的变分框架，通过利用一些数学家最近发展出来的临界点定理去研究该系统的非平凡解的存在性以及多重性；通过考虑稳态解和行波解，研究了具非局部时滞趋化模型的动力学性质；特别地，利用行波变换和常数变易法将具非局部时滞和趋化作用反应扩散模型波前解的存在性问题转化为一个在Banach空间上的等价算子方程解的存在性问题，然后利用不动点理论和摄动方法证明了波前解的存在性；利用泰勒展开、极坐标转换和随机平均法将随机微分系统转化为Ito 型随机平均方程；然后利用Lyapunov 指数、不变测度及奇异边界理论分析系统在平衡点处的全局稳定性与局部稳定性；最后利用随机动力系统及Fokker-Planck 方程分析系统的随机分岔行为；不仅研究了Wiener过程和Levy过程驱动下Hilbert空间中带无穷维扩散的一类随机时滞微分方程不变测度的存在性，而且得到了Wiener过程驱动下系统拉回吸引子的存在性；研究了一类带有非线性传染率， Levy 跳以及随机切换的传染病模型的阈值动力学；研究了状态依赖时滞微分方程全局慢振荡解特别是全局慢振荡周期解的存在性。迄今为止，项目负责人已发表有关学术论文46篇，现已被SCI刊物接受、即将发表的论文有7篇。还有部分研究论文已向国外刊物投稿。