有理顶点算子代数理论

This proposal studies rational vertex operator algebra. The proposal consists of three major parts: (1) Determine the automorphism group and derivation Lie algebra of a rational vertex operator algebra and prove conjecture that a rational vertex operator algebra has inner derivations only. This is the important part of structure theory. (2) Study how to use the structure and representations of a vertex operator algebra to understand the structure and representations of certain subalgefbras. It is expected to establish that if the vertex operator algebra is a direct sum of finitely many irreducible modules for the subalgebra, then their rationalities are equivalent. (3) Characterize rational vertex operator algebras in terms of irreducible characters. These are some basic problems in the field of vertex operator algebra. Solving these problems will help to advance the theory of vertex operator algebra greatly.

本课题研究有理顶点算子代数。主要内容有三个方面：（1）确定有理顶点算子代数的自同构群和导子李代数，拟证明有理顶点算子代数的导子都是内导子的猜想。这是结构理论的重要组成部分。（2）建立一个如何用一个顶点算子代数的结构与表示来确定子代数的结构与表示的理论。拟证明如果顶点算子代数是子代数的有限个不可约模的直和，那么顶点算子代数与子代数的有理性等价。（3）用不可约特征标刻划有理顶点算子代数。这些都是顶点算子代数领域的基本问题。解决这些问题对顶点算子代数理论的发展非常重要。

本项目研究顶点算子代数的结构与表示理论。其目标是有理顶点算子代数的分类和不可约模的分类。 我们主要研究了Parafermion顶点算子代数的迹函数，由两个Ising向量所生成的顶点算子代数的结构与表示, 顶点算子代数的orbifold理论。 重要结果如下： 1）给出了Parfermion顶点算子代数的迹函数的模变换公式。这个结果为Parafermion顶点算子代数的研究画上了完美的句号，其证明思想和方法可用来确定一般有理coset构造迹函数模变换公式。 2）建立了由两个Ising向量所生成的顶点算子代数3C， 5A，6A的唯一性并分类了不可约表示。这个结果有助于理解Monster单群。 3）确定orbifold理论的S矩阵的精确表达公式， 并计算了循环permutation orbifold的S-矩阵。 S-矩阵在顶点算子代数不可约模的分类和量子维数的计算起着十分重要的作用。 4）分类了超顶点算子orbifold理论的不可约摸，建立了超顶点算子代数的Galois对应理论，利用顶点算子超代数的表示理论构造了 super fusion 张量范畴的 16 个极小模扩张， 引入了超顶点算子代数的G-twsited结合代数并用此代数给出了超顶点算子代数扭模上的Schus-Weyl对偶。5）我们最近用范畴论的极小模扩张思想证明了顶点算子代数orbifold理论中的Dijkgraaf-Pasquier- Roche 猜想，即一个 全纯顶点算子代数在一个有限阶自同构作用下的不定点子代数的 模范畴与某一个 twisted Drinfeld double 的模范畴等价。我们相信顶点算子代数和 modular 张 量范畴领域的相互交叉是顶点算子代数研究的新趋势和新动力。