顶点算子代数的表示理论与共形网

This is a proposal on the structure and representation theory of vertex operator algebra, the relation between vertex operator algebras and conformal nets. The proposal consists of three major parts: (1) Establish the equivalence between algebraic approach (using vertex operator algebra) analytic approach (using conformal nets) to 2-dimensional conformal field theory. In particular, a vertex operator algebra will be constructed from a conformal nets and a conformal nets will be obtained from a vertex operator algebra. (2) Study the quantum dimensions and their relations with rationality of vertex operator algebras. It will be shown that the quantum dimensions can be defined using the dimensions of homogeneous subspaces of modules, and the finiteness of the quantum dimensions and rationality are equivalent. (3) Investigate the relation between rationality and the modular invariance of the trace functions. A conjecture on the equivalence between rationality and the modularity of the q-characters of the irreducible modules will be proved. This proposal will study the key problems in the field. Solving these problems successfully will not only important for the development of the theory of vertex operator algebra, but also provide further algebraic foundation to the 2-dimensional conformal field theory.

本课题研究顶点算子代数的结构与表示理论，以及顶点算子代数与共形网之间的关系。主要内容有三个方面：（1）拟建立用顶点算子代数和共形网来研究二维共形场论的等价性。特别从顶点算子代数构造共形网，并用共形网构造顶点算子代数；（2）研究量子维数以及与顶点算子代数有理性之间的联系。证明量子维数可用模的齐次空间的维数来逼近，量子维数的有限性在某些假设下蕴含着顶点算子代数的有理性；（3）研究顶点算子代数的有理性与迹函数的模不变性，拟建立不可约模的q-特征标的模不变性与顶点算子代数有理性的等价性猜想。本项目所研究的问题是顶点算子代数的核心问题，这些问题的顺利解决不但对顶点算子代数理论的发展至关重要，也对物理中的二维共形场论提供更为坚实的代数基础。

本课题研究了parafermion 顶点算子代数，模顶点算子代数及其表示， 有理orbifold theroy ， permutation orbifolds 和其他相关议题。 主要结果有下面 几个方面：1）Paraformion顶点算子代数的研究。我们证明了paraformion顶点算子代数的有理性，并确定了fusion rule; 2）模顶点算子代数的表示理论。我们证明了由c=1/2的Viasoro 代数的最高权模所确定的模顶点算子代数是有理的，并分类了不可约模，计算了fusion rule；3）研究了框架模顶点算子代数，证明了它们的有理性，构造了复数域上框架顶点算子代数的整形式，这样从任何复数域上的一个框架顶点算子代数可得到任何域上的框架顶点算子代数；4）系统的研究了有理orbifold theory。对不可约模进行了分类，建立了其对应的迹函数都是某个同一子群上的模形式； 5）研究了格顶点算子代数的permutation orbifolds, 分类了不可约模， 确定了fusion rules. 6) 对又sl_2所确定的affine顶点算子代数的扩张进行了分类， 并用此结果对c<1的preunitary顶点算子代数分类。