(s,t)-核分拆中若干问题的研究

The study of integer partitions continues to be a very active subject in combinatorics, with connections to representation theory, number theory and symmetric function theory. A particularly prominent theme is the study of core partitions. In recent years, (s,t)-core partitions become a research focus in combinatorics. It turns out that the study of (s,t)-core partitions is closely related to a variety of objects including Dyck path, poset, rational simplex, Shi arrangement. This project will deal with enumeration and statistics on (s,t)-core partitions by applying the combinatorial methods, and obtain some creative and important results. (1) We will study the enumeration of (s,t)-core partitions with some restrictions, and build connections with other combinatorial objects. (2) We will study the symmetric problem for the rational q,t-Catalan numbers by using (s,t)-core partitions, and give a bijective proof for the symmetry of classic q,t-Catalan numbers. (3) We will study the distributions of certain statistics on (s,t)-core partitions. The study of this project will help to enrich the contents of enumerative combinatorics. It also will help to strengthen the connections between core partitions and other combinatorial objects, providing more evidences for the applications of core partitions in other areas of mathematics.

整数分拆是组合数学中一个重要的研究对象，它在表示论、数论和对称函数理论中有着非常广泛的应用，而核分拆是其中一个突出的研究分支。近十几年来，(s,t)-核分拆成了组合数学的研究热点。人们在研究时发现它与Dyck路、偏序集、单形、Shi排列等许多重要结构都有着密切联系。本项目旨在应用组合数学中的一些方法和技巧研究(s,t)-核分拆中的计数问题和统计量的分布问题，得到一些创新性的结果：（1）研究在一定限制条件下的(s,t)-核分拆的计数问题，建立它们与其它组合结构的内在联系；（2）根据(s,t)-核分拆来研究有理q,t-Catalan数的对称性问题，并寻找经典q,t-Catalan数对称性的组合证明；（3）考虑(s,t)-核分拆上一些新的统计量，研究它们的分布。本项目的研究将有助于丰富组合计数的内容，加强核分拆与其他组合结构之间的联系，为核分拆在数学其他领域的应用提供更多的依据。

整数分拆是数学中一个重要研究对象，它在表示论、数论和对称函数理论中都有着非常广泛的应用，而核分拆是其中一个重要的研究分支。核分拆最初出现在研究对称群的模表示理论中。Young给出了对称群 的一个不可约表示和n的整数分拆之间的自然对应，在该对应下， 的两个不可约表示处在同一个p-block当且仅当他们对应的整数分拆拥有相同的p-核分拆。近十几年来，(s,t)-核分拆成了组合数学的研究热点。Anderson建立了(s,t)-核分拆与一种特定偏序集的所有序理想的一个双射，这一双射在之后的研究中被广泛使用。接着组合学家们先后得到了最大的(s,t)-核分拆大小，(s,t)-核分拆的平均大小以及各种限制条件下(s,t)-核分拆的计数。这些计数结果与许多经典的组合数，像Catalan数、Raney数、Motzkin数、Fibonacci数等都有着密切关系。因而(s,t)-核分拆的研究极大的丰富了组合计数的内容。本项目旨在研究一些限制条件下的(s,t)-核分拆的计数问题和统计量分布问题，并寻求他们与其他组合结构的关系。特别地，我们研究了当s是奇数时，每部分都不等的(s,s+2)-核分拆的计数问题。我们利用Anderson的双射，刻画了(s,s+2)-核分拆对应的序理想，并通过生成函数的方法得到了(s,s+2)-核分拆的计数。在此基础上，我们还研究了最大的每一部分都不等的(s,s+2)-核分拆的大小问题，并得出它的确切公式，从而解决了Straub提出的两个猜想。