有理核分拆的结构与统计量研究

Core partitions originate from the study of modular representation of finite groups. They are closely connected to objects in combinatorics and other branches of mathematics, such as representation theory, number theory and discrete geometry. We have calculated the average size of self-conjugate rational core partitions and initiated the study on the distribution of the number of corners of core partitions. The primary goal of this project is to study the statistics and structure of (a, b)-core partitions. In specific, we study the distribution of and the relations between statistics such as skew length, corners, length, size, structure set and hook set of (a, b)-core partitions, as well as different forms of these statistics in bounded partitions, chambers of hyperplane arrangements, affine permutations and integer points in (a, b)-polytopes. We aim to find new relations between statistics on (a, b)-core partitions, study the combinatorial and algebraic properties of relevant combinatorial objects, and develop new tools to answer certain open problems.

核分拆起源于有限群的模表示，与组合数学及表示论、数论和离散几何学等数学分支有紧密联系。前期研究中，申请人与合作者计算了自共轭有理核分拆的平均大小，并率先研究了有理核分拆的角数的统计规律。本项目拟从有理核分拆统计量的数量规律出发，发掘其深层结构特征。具体研究内容包括(a, b)-核分拆的斜长度、角数、经典的长度和大小、结构长度集合以及勾长集合等统计量的分布规律及相互关系，探索上述诸量（或集合）与有界分拆、超平面排列的室、仿射置换、(a, b)-多面体内的整点等组合物体的关联，并研究有理核分拆的整体结构。我们将探寻统计量之间新的数量关系，研究相关组合物体的组合、代数性质，并尝试回答该领域的一些公开问题。

过去三年来，本项目在国家自然科学基金的资助下，对有理核分拆的组合学展开研究，顺利完成了预期的主要目标。发表学术论文1篇（SCI检索期刊），在投两篇。..核分拆起源于有限群的模表示，这一研究领域的兴起与组合数学及表示论、数论和离散几何学等数学分支有紧密联系。有理核分拆是一类有限的核分拆集合，与各类格路、停车函数、超平面配置等组合物体之间也有双射相关联，具有良好的组合性质。我们试图探寻统计量之间新的数量关系，研究相关组合物体的组合、代数性质，并尝试解决该领域的一些公开问题。..项目执行过程中，我们从计数组合学的和代数组合学两个角度对有理核分拆展开研究，得到三类结果。（1）我们在有理核分拆上定义了角数统计量，得到其分布是一类有理卡特兰多项式，并得到所谓的“卡特兰”情形下特定角数的核分拆数量的确切结果。对于一般的情形，我们通过新引入了一类stitch点对作为计数工具，给出了角数统计量的均值。相关研究内容发表在SIAM J.Discrete Math.上。（2）我们得到了P(n)中所有元素的t-核分拆大小之和，并证明这个和式与P(n)上的oed统计量之和相等。相关结果已经投稿。 （3）我们试图改进已有的核分拆研究工具，特别是有理多面体上的带权Ehrhart拟多项式。我们得到了相关的有理Ehrhart拟多项式的次数和reciprocity等性质。此外，我们还得到了一类有理直角三角形上的Ehrhart等价性的结果。