核分拆上若干问题的研究

Core partitions are classical and important structures in combinatorics, which are associated with many combinatorial structures as well as algebraic and topological structures in other branches of mathematics. After being discovered, they became one of the frontier research topics in combinatorics. In recent years, the definition of core partitions has been generalized to affine Weyl groups by combinatorialists and algebraists, which endows the combinatorial core partitions with algebraic structures. Afterwards, a new wave of research on core partitions was raised, meanwhile, many related problems have been emerging. In this project, by combining the applicant's research basis on combinatorial structures of core partitions and recent developments of core partitions on affine Weyl groups, we intend to use algebraic tools in affine Weyl groups and enumerative methods in polytopes to study several problems related to core partitions, including generating functions of certain kinds of core partitions, algebraic properties and enumerations of core partitions on affine Weyl groups. The predicted results of this project will not only promote the integration of combinatorics and algebra, but also enrich research objects in both combinatorics and algebra. Therefore, this project possesses important theoretical value and research significance.

核分拆是组合数学中经典而重要的研究对象，它不仅与组合数学中的很多结构关联，也和数学其他分支中的代数结构和拓扑结构相联系，自其出现后，便成为组合数学的前沿研究内容之一。近年来，组合学家和代数学家将核分拆这一组合结构推广定义到仿射Weyl群上，使之发展成为与组合学密切联系的代数结构。此代数结构出现以后，掀起了关于核分拆研究的新一轮热潮，与此同时，也产生了许多与核分拆相关的问题。结合申请人对组合核分拆的研究基础和仿射Weyl群上核分拆的发展近况，本项目拟利用仿射Weyl群上的代数工具和多面体结构中的计数方法研究若干个核分拆上的相关问题，包括组合核分拆生成函数的计算、仿射Weyl群上核分拆的代数性质及计数等。这些问题的研究结果将推动组合数学与代数学的融合，丰富组合数学和代数学的研究对象，具有重要的理论意义和研究价值。

分拆是组合学中经典而又重要的课题，具有丰富的代数性质和计数问题值得探索。自分拆这一组合结构出现后，其研究发展十分迅速，近几十年来，引起了国内外众多著名组合学家和代数学家的高度重视，包括中国科学院院士陈永川教授、原法国国家科研中心(CNRS)学术研究主任，1998年国际数学家大会45分钟报告人A. Lascoux教授、加拿大皇家学会会士，RSK算法创立者之一G.de B. Robinson教授、美国科学院院士，2006年国际数学家大会一小时报告人R.P. Stanley教授、美国数学学会Steele奖和Ford奖得主D. Zeilberger教授等。. 本项目在研究过程中主要研究分拆上的恒等式的组合证明和解析证明，此外，在项目执行期间，本项目还研究与分拆这一组合结构同样经典的排列这一组合结构上的多种性质和计数问题，包括欧拉多项式系数递推公式的组合解释及欧拉多项式的多种性质。在项目执行期间，本项目完成3篇论文，正在撰写论文2篇。这些研究成果包括：得到关于分拆上最小缺量的某些生成函数和q-级数恒等式；应用新的组合结构对A型排列上的双边欧拉多项式系数的递推公式给出了组合解释，并将此结构推广到B型排列上得到类似的结果。此外，在项目执行期间，还研究了不同全序关系上的下降位这一统计量的生成函数系数的多种性质。 这些研究成果丰富了分拆和排列这两个组合结构的计数结果和性质，为研究更多组合结构的性质提供了理论依据和科研价值。