相邻交叉和嵌套在集合分拆中的分布

Matchings and set partitions are important objects in combinatorics and graph theory, in which the study on crossings and nestings has become one of the hottest topics, including the distribution and joint distribution of the crossings and nestings, the distribution and joint distribution of the maximal crossings and nestings, the enumeration of noncrossing and nonnesting matchings and partitions, the enumeration of pattern avoiding matchings and set partitions, etc. With the universal applications of partition theory into other subjects, the studies on set partitions have become more and more active during the past decades, in particular for the study of crossings and nestings. In this programme, we mainly focus on the analysis on the connection and the joint distributions of the statistics in matchings avoiding left nestings and permutations; the distribution of neighbor crossings and nestings in matchings and set partitions; the refinements of the generating functions of the partitions avoiding right crossings and partitions avoiding right nestings; and combinatorial identities derived from partitions avoiding right crossings and partitions avoiding right nestings. Through the implementation of this project, we hope not only to find the distribution of the neighbor crossings and nestings on matchings and set partitions, but also promote the development on this field and strengthen the connection with the biological mathematics and machine learning.

匹配和集合分拆是组合数学和图论中一个重要的研究对象，而其中关于该结构上弧的交叉与嵌套的性质研究是组合计数理论的一个经典课题，主要包括交叉与嵌套的分布与联合分布，最大交叉与嵌套的分布和联合分布，非交叉与非嵌套的匹配与分拆计数，避免某种子类型的匹配和分拆的计数等方面的内容。近几十年来，随着集合分拆理论在其他学科的广泛应用，使得对分拆理论的研究，特别是对交叉和嵌套分布的研究成为组合数学界一个非常热点的课题，得到了包括多位美国科学院院士在内的世界知名学者的关注。在本项目中，我们主要集中研究非左嵌套的匹配与排列之间统计量的对应与联合分布，相邻交叉和嵌套在匹配和集合分拆上的分布，非右交叉和非右嵌套的集合分拆的计数公式的细化，以及利用非右交叉和非右嵌套分拆基本结构，得到一些组合恒等式。通过项目的实施，我们希望能不仅解决相邻交叉和嵌套的分布，且进一步促进该领域的发展，深化与生物数学、机器学习之间的联系。

匹配是组合数学和图论中一个重要的研究对象，而其中关于该结构上弧的交叉与嵌套的性质研究是组合计数理论的一个经典课题。本项目主要研究对象是匹配，交错排列，B型排列和组合恒等式。主要研究成果如下：.1、利用交错排列和一对匹配之间的对应关系，我们提供了给定峰集合的交错排列个数的计数公式的组合证明。依据从左往右的最大值的个数，同时给了这个计数公式的一个加细形式。.2、通过组合构造的方法，我们给出了带符号的B型超越数在B型排列和B型错排上的递推关系和闭公式。进而研究了B型超越数，稳定点和圈在B型排列上的联合分布。.3、利用2-Motzkin路，我们给出了MacMahon公式和Gould的一个公式之间的等价性证明。并推广了Gould所提出的一个公式。